Vérifier qu'une matrice est nilpotente et déterminer inverse


  • M

    Bonsoir,

    j'ai été absent, et j'ai du mal a faire les exos suivants:

    Dans M 4(R), on pose
    M=(0 1 0 1
    0 0 0 0
    0 0 0 0
    0 0 0 0)

    Verifier que M est nilpotente et determiner l'inverse de (I4-M)

    Alors je sais qu'une matrice est nilpotente si il existe un entier naturel p non nul tel que M^p est nulle.

    Mais je ne sais pas comment prouver cela..

    MErci d'avance pour l'aide.


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Calcule M x M =M² et tu trouves la matrice nulle, d'où la réponse.


  • M

    Ah oui c'etait tout simple merci !

    J'ai une autre question:

    J'ai deux matrices:
    A=(2 1 0
    -1 2 3
    4 5 6 )
    B=(3
    -6
    5)

    Je dois faire le produit AxB=(0
    0
    12)
    ET apres je dois prouver par l'absurde que A est non inversible... MAis je sais pas troop comment faire .. un petit coup de main serait le bienvenu.


  • mtschoon

    OK pour A x B

    Ta dernière question me semble bizarre car si A est bien ce que j'ai lu
    $a=\left(\ 2\ 1\ 0\-1\ 2\ 3\\ 4\ 5\ 6 \right)$,
    cette matrice A est inversible et

    a−1=( −1/4 −1/2  1/4  3/2    1     −1/2 −13/12 −1/2 5/12)a^{-1}=\left(\ -1/4\ -1/2\ \ 1/4\\ \ \ 3/2\ \ \ \ 1\ \ \ \ \ -1/2\ -13/12\ -1/2 \ 5/12\right)a1=( 1/4 1/2  1/4  3/2    1     1/2 13/12 1/2 5/12)

    Alors ?


  • M

    merci d'avoir pris la peine de me repondre. Effectivement il y a une erreur dans la matrice A=(2 1 0
    -1 2 3
    0 5 6 )

    Au final j'ai reussi a faire et exercice et j'ai eu la correction aujourd'hui tout est clair.

    Bonne journée.


  • mtschoon

    Effectivement, un 0 au lieu d'un 4, ça change tout !

    Bonne semaine.


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