suite numerique

[pandad]

j'ai fait juste la premier question . pour 2,3 et 4 je suis bloque.

Soit f : R - {2}->R . f(x)=2/5 * (x2+3x+6)/(x-2) et $u_n$ , $u_0$=10 et $u$_{n+1}$=f(u_n$)

1. Dresser le tableau de variations de f. Que vaut f(6) ? Montrer que x>6 => f(x)>6

2)Montrer par recurrence que $u_n$ est bien defini et 6<$u_n$ pour
tout n

3)Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. En deduir que 0<= $u_{n+1}$-6< $(u_n$-6)2 / 10

4)Montrer que 0<= $u_n$-6<=10[(2/5)^2]^n

[mtschoon]

Bonjour,

Je regarde un peu pour que tu puisses continuer.

2. Pour les deux récurrences de la 2), utilise tout simplement la question 1)

La condition d'existence de la suite est : "dénominateur non nul"

Il faut donc que tu prouves que pour tout n de N :Un≠2

Intialisation pour n=0 c'est évident vu que $U_0$=10

Pour l'hérédité,

Soit Un≠2 il faut que tu prouver que $U_{n+1}$≠2

Il te suffit d'utiliser le tableau de variation de f.
Tu peux constater que, pour x≠2, 'il n'y a aucune valeur de f telle que f(x)=2
Donc : Un≠2 => f(Un)≠2 c'est à dire $U_{n+1}$≠2

Même idée pour la seconde récurrence.

Intialisation pour n=0 c'est évident vu que $U_0$=10

Pour l'hérédité,

Soit $U_n$ > 6 il faut que tu prouver que $U_{n+1}$ > 6

Tu as prouvé que x > 6 => f(x) > 6

Donc Un>2 => f(Un)>2 c'est à dire $U_{n+1}$>6

3. Calcules $U_{n+1}$-6

$un+1=\frac{2}{5}.\frac{u_n^2+3u_n+6}{u_n-2}$

Après transformations, sauf erreur

$u_{n+1}-6=\frac{2}{5}.\frac{(u_n-6{)}^2}{u_n-2}$

Tu en déduis facilement la réponse souhaitée.

Pour la 4) en utilisant l'inégalité que tu viens de trouver n fois ( n variant de 1 à n), tu devrais obtenir une inégalité pour $U_n$-6

L'inégalité que tu donnes me semblant très bizarre, je n'ai pas essayé.

Bon travail.