Espace vectoriel

[Veitchii]

Bonjour,

J'ai un devoir maison à faire sur les espaces vectoriels mais plus précisément sur les polynôme d'endomorphisme. Voici l'énoncé :

Soit E un R-espace vectoriel, u un endomorphisme de E et P = $a$_0$+a_1$X+...$+a$_n$X^n$ un polynôme de R[X]. On note P(u) l'endomorphisme P(u) = $a_0$Id + $a_1$.u + ... + $a$_n$u^n$

ou $u^k$ = u o u o u o ... o u (k fois). Enfin P est un polynôme annulateur de u ssi P(u) = 0.

1. Montrer que l'ensemble A des polynômes annulateurs de u est un R-espace vectoriel.
   Pour cette question, je ne sais comment faire. En effet, je sais montrer qu'un espace est un sous espace vectoriel d'un autre en utilisant le th. de caractérisation mais ici je ne sais pas si il faut utiliser ce théorème pour montrer cela.

Aviez-vous une idée ?

Merci.

[mtschoon]

Bonjour,

Si j'ai bien compris ton énoncé, u est une application linéaire de E dans E (endomorphisme de E)
Vu sa définition, P(u) est un endomorphisme de E

L'ensemble L(E) des endomorphismes de E est un R-espace vectoriel

A est un sous-ensemble de l'ensemble des polynômes

Pour prouver que A est un R-espace vectoriel, tu peux utiliser ce que tu appelles le théorème de caractérisation ( J'imagine que tu dois prouver que A est non vide et stable par combinaison linéaire)

[Veitchii]

?

[Veitchii]

Ok !

J'utilise alors le théorème de caractérisation.

A ⊂ L(E)
A ≠ {∅} car 0 ∈ à A (j'ai un doute)
A est stable par CL ?

Soient $\lambda \mu$ ∈ R

Mais après il faut prendre 2 éléments de A mais du coup je ne sais pas comment on fait... J'ai notamment un doute sur mq A est non vide...

[mtschoon]

Je regarde les notations de près pour éviter les mélanges

vu qu'un polynôme annulateur P de u est un

polynôme à coefficients réels (alors que P(u) est un endomorphisme de E -* j'avais mélangé les notations*-)

(qui est un R-espace vectoriel)

Soit u un endomorphisme fixé de E

1. Pour Prouver que A est non vide, tu peux utiliser le polynôme$p_0=(0,0,...,0)$

Nécessairement :$0.id+0.u+...0.u^n=0$

Donc $p_0$ est polynôme annulateur de u

$p_0\in a$

2. Pour Prouver que A est stable pour la multiplication par un réel k

Soit P un polynôme annulateur de u :

$p=(a_0,a_1,...,a_n)$

$a_0.id+a_1.u+...+a_n.u^n=0$

En multipliant par k

$k{a}_0.id+k{a}_1.u+...+k{a}_n.u=0$

Donc le polynôme $kp=(k{a}_0,k{a}_1,...,k{a}_n)$ est un polynôme annulateur de u

$kp\in a$

3. Pour Prouver que A est stable pour l'addition

Soit P un polynôme annulateur de u :

$p=(a_0,a_1,...,a_n)$

$a_0.id+a_1.u+...+a_n.u^n=0$

Soit Q un polynôme annulateur de u :

$q=(b_0,b_1,...,b_n)$

$b_0.id+b_1.u+...+b_n.u^n=0$

En ajoutant membre à membre:

$(a_0+b_0).id+(a_1+b_1).u+...+(a_n+b_n).u^n=0$

Donc $p+q=(a_0+b_0,a_1+b_1,...,a_n+b_n)$ est un polynôme annulateur de u

$p+q\in a$

CQFD

Vérifie tour ça.

[Veitchii]

Je comprends ce que vous avez fait pour mq A est non vide. Pour mq A est stable par CL j'ai fait cela :

Soient λ, μ ∈ R
P ∈ A ⇒ $a_0$Id + .... + $a$_n$X^n$ = 0
Q ∈ A ⇒ $b_0$Id + .... + $b$_n$X^n$ = 0

Mq λP + μQ ∈ A
⇔ λ$(a_0$Id +...+ $a$_n$X^n$) + μ$(b_0$Id + .... + $b$_n$X^n$)
⇔ λ0 + μ0 = 0

C'est stable par combinaison linéaire, donc A est un sev de R[X].

C'est correcte ?

[mtschoon]

Si tu préfères la stabilité par combinaison linéaire, c'est très bien.

J'avais décomposé les deux (stabilité pour la multiplication par un réel et stabilité pour l'addition), car j'avais l'impression que c'est ce que tu voulais faire.

Tes deux dernières lignes n'ont guère de sens...

Je reprends

$p\in a\leftrightarrow a_{0}id+a_{1}u+...+a_n{u}^n=0$

$q\in a\leftrightarrow b_{0}id+b_{1}u+...+b_n{u}^n=0$

En multipliant la première égalité par λ, la seconde par μ, en ajoutant membre à membre puis en regroupant(* il faudra détailler tout ça mais je n'ai pas l'envie de tout taper...*), tu obtiens :

$(\lambda a_0+\mu b_0).id+(\lambda a_1+\mu b_1).u+...+(\lambda a_n+\mu b_n)u^n=0$

Tu pourras conclure que le polynôme $\lambda p+\mu q\in a$

Pour expliciter davantage, reporte toi à ma réponse précédente.

[Veitchii]

Ca marche, je vois ! Merci beaucoup.

2. Considérons l'ensemble B = {Deg(P) ∈ N / P ∈ A \ {0}}. On admettra que B est non vide. Mq B admet un minimum $n_0$

Là, par contre pour cette question j'ai absolument aucune idée qui me vient à l'esprit pour répondre à cette question... Si vous auriez des pistes, je prends volontiers.

Merci !

[mtschoon]

Désolée pour la 2), mais je ne vois pas ce qu'il faut montrer.

B est une partie non vide de N

Toute partie non vide de N admet un plus petit élément (c'est une propriété usuelle de naturels), donc B admet un plus petit élément $n_0$

Je ne vois pas ce qu'il y a a faire de plus.