Résoudre une équation polynôme de degré n

[momona]

Bonjour,

je suis bloqué sur un exercice, en gros je connais la recette pour le traiter, mais je ne maitrise pas la methode.. Un petit coup de main serait le bienvenu !

Enonce:
Soit n dans N°

1. Decomposer dans C(X): Pn=(X+1)^n - (X-1)^n
2. EN deduire (pour tout p dans N°) ∏(de k=1 jusqu'a p) cotan(kπ/2p+1)=1/(√(2p+1))

Pour le 1) je sais que je dois résoudre Pn(z)=0 ⇔ (z+1)^n - (z-1)^n=0
Mais je ne sais pas encore comment résoudre cette equation...

[mtschoon]

Bonjour,

Seulement quelques pistes car je n'ai pas regardé de près.

Pour résoudre l'équation, tu peux te ramener aux racines $n^{i\grave{e}mes}$ de 1

$(\frac{z+1}{z-1}{)}^n=1$

$\frac{z+1}{z-1}=e^{\frac{2ik\pi }{n}}$

Tu fais les produits en croix, tu isoles z, , tu multiplies numérateur et dénominateur du quotient trouvé par $e^{\frac{-ik\pi}{n}$ ou$-e^{\frac{-ik\pi}{n}$ (suivant le forme du quotient que tu as écrit)

Au final, tu dois arriver à

$z=\frac{{e^{\frac{ik\pi}{n}}-e^{\frac{-ik\pi}{n}}}}{{e^{\frac{ik\pi}{n}}+e^{\frac{-ik\pi}{n}}}$

$z=\frac{2i\sin \frac{k\pi }{n}}{2\cos \frac{k\pi }{n}}$

$z=icotan\frac{2k\pi }{n}$ (pour k variant de 1 à n-1)

Tu peux en déduire la décomposition de Pn

Ensuite $n=2p+1$ ( n impair donc $n-1=2p$)

En utilisant la relation entre produit des racines et coefficients du polynôme, tu pourras déduire le produit des $cotan(\frac{k\pi }{n})$ , k variant de 1 à 2p

Sauf erreur,

${\prod }_{k=1}^{k=2p}cotan(\frac{k\pi }{2p+1})=\frac{1}{2p+1}$

Comme les coefficients sont égaux deux à deux, pour le produit, k variant de 1 à p, tu obtiens le résultat souhaité.

Bons calculs.