topologie



  • Bonsoir,
    je bloque sur cet exo:
    Soit(xn), une suite d'un espace métrique (E,d).Cette suite converge vers a∈E si et seulement si
    ∀ε>0, ∃n∈N tel que ∀n≥N , d(xn,a)<ε
    a)Donner la representation de la boule de centre O et de rayon r pour d∞
    b) Donner la representation de la boule de centre O et de rayon r pour d1
    c)Donner la representation de la boule de centre O et de rayon r pour d2

    Merci d'avance!



  • Bonjour,

    Pour la boule ouverte B(O,r), il s'agit de l'ensemble des éléments z de E vérifiant :
    d(O,z) < r

    Pour boule fermée B(O,r), il s'agit de l'ensemble des éléments z de E vérifiant :
    d(O,z) ≤ r

    Pour répondre à tes 3 questions, il faudrait savoir comment sont définies les distances d1 , d2, et d∞ , mais tu ne l'indiques pas...



  • j'ai écrit mon énoncé tel quel, il n'y a pas d'indication sur cela...



  • Si ces notations ne sont pas indiquées dans l'énoncé, je pense que c'est parce qu'elles ont été données dans ton cours (comme exemples usuels de distances).
    Essaie de consulter ton cours.



  • Dans le cours on a donné la norme infinie, la norme 1, la norme i de maniere générale



  • Donne les définitions des normes (dont tu parles) pour pouvoir en déduire les distances associées.



  • || x||$_∞$ = Max{|x1|....|x2|}

    || x||2_2 = (∑xx_i$$^2$)^{1/2}$ ,i allant de 1 à n

    ||x||i_i = ∑|xix_i| , i allant de 1 à n



  • OK

    a et b étant deux éléments de E :d(a,b)=||a-b||
    z étant un élément de E, d(0,z)=||z||

    Pour obtenir des boules ouvertes, tu dois donc expliciter**||z|| < r**
    (sinon , tu mets ≤ au lieu de < pour des boules fermées)

    Vu que l'on te demande des représentations dans un plan, on travaille dans R²

    Soit z un élément (x,y) de R²

    d1(0,z)<rx+y<rd_1(0,z) \lt r \leftrightarrow |x|+|y| \lt r

    d2(0,z)<rx2+y2<rd_2(0,z) \lt r \leftrightarrow \sqrt{x^2+y^2} \lt r

    d(0,z)<rmaxx,y<rd_\infty(0,z) \lt r \leftrightarrow max{|x,|y|} \lt r

    Sauf erreur, tu dois obtenir le schéma donné.

    Pour chaque boule,
    Les points "extrêmes" situés sur l'axe des abscisses ont pour abscisses -r et +r
    Les points "extrêmes" situés sur l'axe des ordonnées ont pour ordonnées -r et +r

    fichier math

    Bon travail.



  • donc ici a quoi nous sert ceci:
    "Cette suite converge vers a∈E si et seulement si
    ∀ε>0, ∃n∈N tel que ∀n≥N , d(xn,a)<ε"

    et aussi si j'avais un centre qui n'est pas 0 que deviendront les distances



  • La définition de suite convergente n'a rien à voir avec les constructions des boules demandées.

    Peut-être y a-t-il des questions prévues qui nécessitent cette définition ?

    Si le centre n'est pas O, tu utilises la définition générale de distance :

    a et b étant deux éléments de E : d(a,b)=||a-b||, en remplaçant a par le nouveau centre.



  • ok merci!



  • De rien !


 

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