exo exponentielle



  • Bonjour, j'ai un exo à faire sur les exponentielles mais je suis perdue. Voici l'énoncé :

    Une société est spécialisée dans l'exploitation de gravières (le gravier extrait est utilisé pour la construction d'autoroutes). Elle doit étudier le plan d'exploitation d'un nouveau site d'extraction.
    Voici les conditions d'exploitation définies par la direction :
    « l'exploitation débutera le 1er janvier 2001. La production journalière de gravier devra rapidement augmenter pour atteindre son maximum après un an et demi de travail, puis elle devra accroître lentement. »
    On traduit en langage mathématique ces consignes afin de modéliser la production journalière et la production totale.
    On choisit habituellement, pour modéliser la production journalière du site, une fonction f définie sur [0 ; inf[ par :
    f(t) = (at² + bt + c) e^-t où a, b et c sont trois nombres réels.
    f(t) représente la production journalière de graviers extrait ( en milliers de tonnes ), t étant la durée écoulée depuis le début de l'ouverture du site ( t étant en années, c'est un réel positif)

    On appelle C la courbe représentative de f.
    Les consignes peuvent se traduire ainsi :

    • C passe par le point 0 de coordonnées (0 ;0 )
    • La tangente à C en 0 a pour coefficient directeur 3
    • La courbe C admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1,5

    1° Montrer que, sous ces contraintes, f est définie par :
    f(t) = (2t² + 3t)e^-t
    2° a ) déterminer la dérivée f' de f et montrer que :
    f'(t)= (-2t + 3) ( t + 1)e^-t
    b) Calculer la limite de f en + inf.
    c) Etudier les variations de la fonction f pour t >>0
    d) Préciser le signe de f sur [0;+inf[

    3° Calculer le maximum de f sur [0;+inf[
    En donner la valeur arrondie à 10^-3 près
    Quelle est la production journalière maximale prévue sur ce site, et à quelle date sera-t-elle atteinte ?

    4° Montrer qu'il existe une seule valeur to, comprise entre 3 et 4, telle que f(to) soit égale à 1 (soit 1 000 tonnes par jour). Donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur de to arrondie à 10^-2 près.

    5° Montrer que la fonction F définie sur [0;+inf[ par :
    F(t) = (-2t² - 7t -7)e^-t est une primitive de f sur [0;+inf[

    6° En considérant que la gravière sera exploitée 200 jours par an, on admettra que la production totale prévue pendant la durée t est donnée par la formule :
    P(t) = 200 * intégrale de 0 à t f(x) dx (* veut dire multiplier par)
    a) Transformer l'écriture de P(t) en utilisant le résultat de la question 5° et étudier les variations de la fonction P sur l'intervalle [0 ; +inf[
    b) On prévoit que l'exploitation de ce site doit etre interrompue au bout de 5 ans. Calculer, à 1 000 tonnes près par défaut, la quantité de gravier qui aura été extraite, ainsi que la production moyenne annuelle sur cette période.

    Donc voici mon exo, ce serait très gentil de votre part si vous pouviez m'aider car je n'arrive déja pas à débuter
    Merci beaucoup
    coco



  • Les consignes peuvent se traduire ainsi :
    1°) C passe par le point 0 de coordonnées (0 ;0 )
    2°) La tangente à C en 0 a pour coefficient directeur 3
    3°) La courbe C admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1,5

    en langage mathématique, on a donc :
    1°) f(0)=0
    2°) f'(0)=3
    3°) f'(1.5)=0

    tu fais donc un systeme de 3 équations à trois inconnues : tu obtiendras a,b et c


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