Probabilité Variance
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?Un Ancien Utilisateur dernière édition par
Bonsoir a tous , merci du temps que vous m'accordez !
Voila j'ai un problème sur un exercice de mathématique de probabilité , je n'arrive pas a trouver les propriétés qui s'appliquent a l'exercice
Si X et Y deux variable aléatoire indépendante alors ,
V (X + Y ) = V (X) + V (Y ). Nous avons vu et demontre ce resultat en cours. Voici la
demonstration :V (X + Y ) = E[(X + Y )2] [E(X + Y )]2
= E(X2 + 2XY + Y 2) [E(X) + E(Y )]2
= E(X2) + 2E(XY ) + E(Y 2) [E(X)]2 2E(X)E(Y ) [E(Y )]2
= V (X) + V (Y ) + 2[E(XY ) E(X)E(Y )]Probleme : Indiquez a chaque etape quelles de nitions, quelles proprietes des operateurs ou
quels autres resultats ont ete utilises.
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Merci de modifier ton énoncé pour qu'il soit lisible.
Tu as peut-être fait un "copié-collé" qui a mal fonctionné (?)Il faut mettre des "carrés".
Tu as une touche adaptée sur ton clavier [en haut , à gauche , en principe]Les signes "-" sont inexistants.
Il y a des vides ...En plus, explique le mot "denitions" car je ne sais pas ce que ça veut dire.
En bref, il faut que l'énoncé écrit soit correct pour pouvoir t'aider.
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mtschoon dernière édition par
Je détaille, pour que ce topic ne reste pas sans suite...
Propriété utilisée, relative à la variance :
(1) : V(X)=E(X²)-[E(X)]²
Propriétés utilisées, relatives à l'espérance mathématique :
X et Y étant deux variables aléatoires, et a et b deux réels
(2) : E(X+Y)=E(X)+E(Y)
De façon générale (linéarité)
(3) : E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
De plus, pour deux variables aléatoires indépendantes :
(4) : E(XY)=E(X)E(Y)
DEMONSTRATION souhaitée, dans le cas deux variables aléatoires indépendantes
Utilisation de (1) : V(X+Y)=E((X+Y)²]-[E(X+Y)]²
Développement de (X+Y)² : V(X+Y)=E((X²+2XY+Y²)]-[E(X+Y)]²
Utilisation de (2) et (3) :
V(X+Y)=E(X²)+2E(XY)+E(Y²)-[E(X)+E(Y)]²
Développement de [E(X)+E(Y)]² :
V(X+Y)=E(X²)+2E(XY)+E(Y²)-[E(X)]²-2E(X)E(Y)-[E(Y)]²
Regroupement judicieux :
V(X+Y)=[E(X²)-(E(X)]²] + [E(Y²)-(E(Y)]²] +2[E(XY)-E(X)E(Y)]
Utilisation de (1) :
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2[E(XY)-E(X)E(Y)]
Utilisation de (4), vu que par hypothèse X et Y sont indépendantes:
V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2[0]
Conclusion (pour deux variables X et Y indépendantes)
$\text \fbox{v(x+y)=v(x)+v(y)}$
CQFD