Ensembles-Inclusion

[Augustin1340]

Bonjour,
Pouvez-vous corriger mon exercice s'il vous plait.

Soit A et B sont des parties d'un ensemble U; Prouver que A ⊂ B
si et seulement si B(compl) ⊂ A (compl)

Moi j'ai mis ceci:
Soit x est un élément de A, alors x ∈ B, car A ⊂ B
Conclusion A est inclut dans B et donc B

Pour la réciproque j'ai écris:
Soit x est un élément de B(compl), alors x ∈ A(compl) car B(compl) ⊂ A(compl)

Conclusion B(compl) est inclut dans A(compl) donc B

[mtschoon]

Bonsoir,

Tes explications ne prouvent rien...

Tu peux bien sûr faire un schéma, mais un schéma n'est pas une véritable démonstration...

Tu peux faireun tableau de vérité, qui lui est une véritable démonstration (tu avais, il y a quelque temps, fait des démonstrations avec tableaux de vérité, donc tu connais la méthode).

Si tu maîtrises, tu peux raisonner par équivalence logique avec utilisation d'une loi de Morgan

$a\subset b\leftrightarrow a\cap b=a\leftrightarrow \overline{a\cap b}=\overline{a}\leftrightarrow \overline{a}\cup \overline{b}=\overline{a}\leftrightarrow \overline{b}\subset \overline{a}$

[Augustin1340]

Bonjour,

Je vais plutôt faire un tableau de vérité...

A B
0 0
0 1
1 0
1 1

Voici mon schéma

Et mon tableau de vérité

Je sais pas si tout est correcte ?

Merci à toi

[mtschoon]

Si tu décides de faire un tableau de vérité, il faut changer les 3 dernières colonnes écrites (qui ne sont pas correctes)

Traduis les deux propositions concernées avec des Intersections par exemple.

$a\subset b$ se traduit par : $a\cap b=a$

$\overline{b}\subset \overline{a}$ se traduit par : $\overline{a}\cap \overline{b}=\overline{b}$

Dans le tableau de vérité, après les 4 premières colonnes, tu mets une colonne pour $x\in a\cap b$ et une colonne pour $x\in \overline{a}\cap \overline{b}$

Ensuite, tu mets deux autres colonnes :

une pour la proposition $a\cap b=a$ et une dernière pour la proposition $\overline{a}\cap \overline{b}=\overline{b}$

La proposition $a\cap b=a$ sera V (vrai) si et seulement si $x\in a\cap b$ et $x\in a$ ont les mêmes valeurs de vérité (toutes les deux à 0, ou toutes les deux à 1)

Sinon la proposition sera F (fausse)

Même principe pour la dernière colonne

La proposition $\overline{a}\cap \overline{b}=\overline{b}$ sera V (vrai) si et seulement si $x\in \overline{a}\cap \overline{b}$ et $x\in \overline{b}$ ont les mêmes valeurs de vérité (toutes les deux à 0, ou toutes les deux à 1)

Sinon la proposition sera F (fausse)

Tu dois trouver les mêmes valeurs de vérité dans les 2 dernières colonnes ( trois V et un F)
Les deux propositions proposées par l'énoncé sont donc équivalentes.

Remarque : Je te parle de V et F pour les deux dernières colonnes pour plus de clarté, mais tu peux mettre bien sûr des 1 et 0, si tu préfères.

Evidemment,la démonstration par équivalence logique (avec loi de Morgan) est la plus rapide...

[Augustin1340]

Bonsoir Mtschoon,

Merci pour le temps d'avoir pris à m'expliquer. J'aimerais bien comprendre les deux démonstrations, tableau de vérité et par équivalence logique...

J'ai refais le schéma pour m'aider

Qu'est-ce que signifie dans le schéma ?

J'hésite entre l'union a et b ou ce qui se trouve en dehors de a et b (le n°1 dans le schéma)

Merci

[mtschoon]

$\overline{a}\cap \overline{b}$ est l'ensemble des éléments appartenant ni à A, ni à B : région 1

Complément avec une loi de Morgan

$\overline{a}\cap \overline{b}=\overline{a\cup b}$

[Augustin1340]

Bonsoir Mtschoon,

Merci pour ta réponse.
Voici mon tableau de vérité...
Qu'en penses-tu ?

[mtschoon]

C'est bon pour les valeurs données mais supprime "$x\in$" dans le titre des deux dernières colonnes car il s'agit d'égalités (vraies ou fausses ).
Tu pourrais mettre "x vérifie l'égalité ...", mais le plus simple est de mettre seulement l'égalité.

(Relis si besoin mon explication)

[Augustin1340]

J'ai compris, merci encore pour tes explications Mtschoon.

[mtschoon]

De rien !

A+