Calcul d'intégrales doubles

Bonjour, j'ai un exercice sur le calcul d'une intégrale double que j'ai fait, mon souci c'est que je ne suis pas certain de ma réponse (au niveau des bornes), pourriez-vous me dire si elle est juste? voici l'énoncé et ce que j'ai fait en-dessous. Merci d'avance

Calculer l'intégrale double
∫∫ f(x,y)dxdy où f(x,y)=y²sinx et D={(x,y)∈R²;0≤x≤π, |y|≤sinx}
D

Ce que j'ai fait:
π sinx
∫ ∫ y²sinx=...
0 0

Bonjour,

Je suppose que c'est |y| qui te pose problème

|y|≤ sinx <=> -sinx ≤ y ≤ sinx

L'intégrale I cherchée est donc :

$i=\bigint 0^ \pi \bigint{-sinx}^{sinx}y^2 sinx dy dx$

$i=\bigint 0^ \pi (sinx\bigint{-sinx}^{sinx} y^2dy)dx$

Le calcul se fait bien.

Je me suis "amusée" à le faire : j'ai trouvé $π4\frac{\pi}{4}$

(mais j'ai fait vite, alors ça reste à vérifier)

Bon calcul.

Merci beaucoup!

De rien !

Par ailleurs, j'ai un autre exercice du même type, je l'ai fait mais je ne suis pas certain de ma réponse au niveau des bornes, pourriez-vous me dire si elle est juste?
Voici l'énoncé et ce que j'ai fait:

Calculer l'intégrale double
∫∫ f(x,y)dxdy où f(x,y)=x²+y²+xy
D
et D est à l'intérieur du cercle d'équation x²+y²-4=0

Ce que j'ai fait:
2 √(4-x²)
∫ ∫ x²+y²+xy =...
-2 -√(4-x²)

Le domaine est l'intérieur du cercle d'équation x²+y²=4, c'est à dire l'ensemble défini par : x²+y² < 4

x²+y² < 4 <=> y² < 4-x² <=> $−4−x2<y<4−x2-\sqrt{4-x^2} \lt y \lt \sqrt{4-x^2}$

Tu peux calculer cette intégrale I avec y compris entre $−4−x2-\sqrt{4-x^2}$ et $\sqrt{4-x^2$ et x compris entre $- 2$ et $2$

Personnellement, je passerai en coordonnées polaires :

Domaine Δ

x=rcosθ
y=rsinθ
0 ≤ θ ≤ 2∏
0 ≤ r < 2

$i=\bigint\bigint _\delta (r^2cos^2\theta+r^2sin^2\theta+r^2 cos\theta sin\theta)r dr d\theta$

Après transformations

$i=\bigint\bigint _\delta (r^3(1+cos\theta sin\theta) dr d\theta$

Au final

$i=\bigint_0^{2\pi}(1+cos\theta sin\theta)d\theta \bigint_0^2r^3dr$

Sauf erreur, le résultat doit être 8∏

Merci beaucoup

De rien.