famille generatrice et base

Bonsoir,
je ne comprend pas très bien comment extraire une base d'une famille génératrice dans le cas ou elle n'est pas libre.Je voudrais avoir un exemple simple et clair qui me permettrait de mieux comprendre.
Merci d'avance!

Bonjour,

Je n'ai pas d'explication miraculeuse à te proposer !

Un exemple :

Dans $R^3$ , on considère la famille (V1,V2,V3,V4) avec :
V1=(1,2,3)
V2=(0,1,2)
V3=(2,1,0)
V4=(3,4,5)

Par calculs, tu peux prouver que cette famille forme une partie génératrice et non libre (V1+V2+V3-V4=0)

Tu cherches une base.
Vu que $R^3$ est de dimension 3, tu cherches donc 3 vecteurs formant une partie libre.

Parmi les 4 vecteurs de la famille proposée, tu as 4 possibilités à explorer (V1,V2,V3) ; (V1,V2,V4) ; (V1,V3,V4) ; (V2,V3,V4).

Après calculs, (V1,V3,V4) constitue une partie libre.

Dans un espace vectoriel de dimension 3, toute partie libre "de 3 éléments" est génératrice (pas besoin de le démontrer car c'est un théorème),

Conclusion :

(V1,V3,V4) est une base de $R^3$ extraite de la famille donnée.

mtschoon

Dans un espace vectoriel de dimension 3, toute partie libre est génératrice (pas besoin de le démontrer car c'est un théorème)

ça doit être une coquille

Bonjour kakille,

Si tu as bien lu, dans l'exercice, il s'agit d'une partie de3 vecteurs libres, dans un espace de dimension 3 .

Voici le théorème utilisé :

**Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K.

Alors :
Toute partie libre L de E possède au plus n éléments. Si ce nombre d'éléments est égal à n,L est une base de E.**

Tu peux trouver le théorème ici ,au II 2) i)
Il y a même la démonstration.

http://www.math.u-psud.fr/~rumin/enseignement/S2PMCP/4-Bases%20et%20dimension.pdf

Bonne journée !

C'est clair maintenant!
Merci!

De rien !

Ravie de t'avoir éclairée