racine carrée de 5 irrationnel

Bonsoir,

Je dois démontré si la racine carré de 5 est rationnel ou irrationnel voici mon raisonnement...

tel que m et n sont simplifiable entre eux et divisible par 5

Donc m exposant2 serai un multiple de 5
et m est multiple de 5

or

Donc

Donc n exposant2 serait multiple de 5 et m est multiple de 5

Bonjour,

Il y a des idées dans ton explication, mais il y a des "maillons manquants"

Pour démontrer que √5 est irrationnel, tu peux raisonner par l'absurde , c'est à dire supposer que √5 est rationnel et trouver une contradiction.

C'est peut-être ce que tu as voulu faire.

Supposons que √5 est rationnel.

Il existe m et n naturels (n non nul) , premiers entre eux, c'est à dire PGCD(m,n)=1, tels que : $5=mn\sqrt 5=\frac{m}{n}$

Par élévation au carré et transposition, comme tu l'as indiqué : $m^2=5n^2$

5 divise 5n² donc 5 divise m².

Un nombre et son carré ont les mêmes facteurs premiers (*)

5 est premier et 5 divise m², donc5 divise m

Vu que 5 divise m, il existe un naturel non nul m' tel que m=5m'

d'où :

5n²=(5m')² <=> 5n²=25m'² <=> n²=5m'²

donc 5 divise 5m'², donc 5 divise n².

Avec la propriété (*),5 divise n

CONTRADICTION, car5 divise à la fois m et n alors que m et n sont premiers entre eux.

CONCLUSION : √5 est irrationnel.

NB : c'est le même raisonnement que pour démontrer que racine carrée de 2 est irrationnel.

Bonjour Mtschoon,

Merci pour tes explications

De rien !

Bon travail.