polynome caracteristique,valeur propre

Bonjour,

je n'arrive pas à faire ces deux démonstrations :

Démontrer que le polynome caractéristique d'une matrice est de degré n.
Démontrer que toute matrice carrée d'ordre impair à élément dans R admet au moins une valeur propre réelle.

Merci d'avance!

Bonsoir,

La première question est quasiment du cours, mais je n'ai pas de cours correspondant...
Mon aide sera donc des plus modestes !

Je suppose qu'il s'agit d'une matrice carrée nxn, que je note A

En appelant λ la variable, le polynôme caractéristique Pn est défini par

$pn(λ)=det(a−λin)p_n(\lambda)=det(a-\lambda i_n)$

Les valeurs propres sont les racines de ce polynôme $P_n$
Pour répondre à la question, tu dois arriver à : $pn(λ)=(−1)nλn+...p_n(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+...$

(monômes écrits dans l'ordre décroissant)*

Vu que $1)^n$ est non nul, le degré de $P_n$ est n

Regarde ce lien, page 4, Remarque 11

http://www-gremaq.univ-tlse1.fr/perso/voltchkova/notes%203.pdf

Pour la seconde question, si tu n'as pas d'autre idée, tu peux utiliserle théorème des valeurs intermédiaires

Piste en utilisant la première question :

$p2p+1(λ)=(−1)2p+1λ2p+1+....p_{2p+1}(\lambda)=(-1)^{2p+1}\lambda^{2p+1}+....$

$1)^{2p+1}=-1$ donc :

$p2p+1(λ)=−λ2p+1+....p_{2p+1}(\lambda)=-\lambda^{2p+1}+....$

La limite de $P_{2p+1}$ en +∞ est -∞
La limite de $P_{2p+1}$ en -∞ est +∞
$P_{2p+1}$ prend donc des valeurs négatives ainsi que des valeurs positives.
Vu que cette fonction est continue sur R (comme toute fonction polynôme à coefficients réels), grâce au TVI, on peut assurer qu'elle s'annule au moins une fois, d'où la conclusion demandée.

Au lieu de ça, tu peux faire un raisonnement algébrique, mais tout dépend si la propriété utilisée fait partie ou non de ton cours, ce que j'ignore.

Supposons que $P_n$ n'ait pas de racines réelles.
Les n racines de $P_n$ sont donc des complexes non réels.
Or, par théorème, si α est une racine complexe non réelle de $P_n$ , le conjugué de α est aussi une racine complexe non réelle de $P_n$ avec la même multiplicité.
Donc le nombre de racines de $P_n$ est pair donc le degré de $P_n$ est pair .
Conséquence :

En prenant la contraposée, lorsque le degré de $P_n$ est impair, les n racines de $P_n$ ne peuvent pas être des complexes non réels, doncune au moins une racine est réelle.

A toi de voir ce qui convient le mieux en fonction de ton cours.

Bon courage !