polynome caracteristique,valeur propre



  • Bonjour,

    je n'arrive pas à faire ces deux démonstrations :

    • Démontrer que le polynome caractéristique d'une matrice est de degré n.
    • Démontrer que toute matrice carrée d'ordre impair à élément dans R admet au moins une valeur propre réelle.

    Merci d'avance!



  • Bonsoir,

    La première question est quasiment du cours, mais je n'ai pas de cours correspondant...
    Mon aide sera donc des plus modestes !

    Je suppose qu'il s'agit d'une matrice carrée nxn, que je note A

    En appelant λ la variable, le polynôme caractéristique Pn est défini par

    pn(λ)=det(a−λin)p_n(\lambda)=det(a-\lambda i_n)pn(λ)=det(aλin)

    Les valeurs propres sont les racines de ce polynôme PnP_nPn
    Pour répondre à la question, tu dois arriver à :pn(λ)=(−1)nλn+...p_n(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+...pn(λ)=(1)nλn+...

    • (monômes écrits dans l'ordre décroissant)*

    Vu que (−1)n(-1)^n(1)n est non nul, le degré de PnP_nPn est n

    Regarde ce lien, page 4, Remarque 11

    http://www-gremaq.univ-tlse1.fr/perso/voltchkova/notes%203.pdf

    Pour la seconde question, si tu n'as pas d'autre idée, tu peux utiliserle théorème des valeurs intermédiaires

    Piste en utilisant la première question :

    p2p+1(λ)=(−1)2p+1λ2p+1+....p_{2p+1}(\lambda)=(-1)^{2p+1}\lambda^{2p+1}+....p2p+1(λ)=(1)2p+1λ2p+1+....

    (−1)2p+1=−1(-1)^{2p+1}=-1(1)2p+1=1 donc :

    p2p+1(λ)=−λ2p+1+....p_{2p+1}(\lambda)=-\lambda^{2p+1}+....p2p+1(λ)=λ2p+1+....

    La limite de P2p+1P_{2p+1}P2p+1 en +∞ est -∞
    La limite de P2p+1P_{2p+1}P2p+1 en -∞ est +∞
    P2p+1P_{2p+1}P2p+1 prend donc des valeurs négatives ainsi que des valeurs positives.
    Vu que cette fonction est continue sur R (comme toute fonction polynôme à coefficients réels), grâce au TVI, on peut assurer qu'elle s'annule au moins une fois, d'où la conclusion demandée.

    Au lieu de ça, tu peux faire un raisonnement algébrique, mais tout dépend si la propriété utilisée fait partie ou non de ton cours, ce que j'ignore.

    Supposons que PnP_nPn n'ait pas de racines réelles.
    Les n racines de PnP_nPn sont donc des complexes non réels.
    Or, par théorème, si α est une racine complexe non réelle de PnP_nPn, le conjugué de α est aussi une racine complexe non réelle de PnP_nPn avec la même multiplicité.
    Donc le nombre de racines de PnP_nPn est pair donc le degré de PnP_nPn est pair .
    Conséquence :

    En prenant la contraposée, lorsque le degré de PnP_nPn est impair, les n racines de PnP_nPn ne peuvent pas être des complexes non réels, doncune au moins une racine est réelle.

    A toi de voir ce qui convient le mieux en fonction de ton cours.

    Bon courage !


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