Matrice - Sarrus

[dut]

Bonjour à tous j'ai un exercice à faire pour lundi mais j'ai aussi un petit contrôle.

Il faut trouver les déterminants.
PourA:
$\left[\begin{array}{ccccccccccccc}1& amp;2& amp;3& amp;40& amp;1& amp;1& amp;-10& amp;-1& amp;2& amp;10& amp;2& amp;1& amp;1\end{array}\right]$

Pour B:$\left[\begin{array}{ccccccccccccc}1& amp;0& amp;3& amp;41& amp;1& amp;1& amp;-11& amp;0& amp;2& amp;11& amp;0& amp;1& amp;1\end{array}\right]$

Pour A^2 j'ai trouvé -20
Pour A^3 j'ai trouvé 8
Et pour AB j'ai trouvé 7

Pensez vous que cela est juste
Merci

[mtschoon]

Bonjour,

Je ne comprends pas trop comment tu t'y prends.

Calcule Det(A) et Det(B) et ensuite utilise les propriétés de ton cours

sauf erreur Det(A)=9 et Det(B)=-3 (vérifie, j'ai fait vite)

Tu en déduis que :

$\ast \ast Det(A$^2$)=[Det(A){]}^2$=...

$Det(A$^3$)=[Det(A){]}^3$=...

Det(AxB)=Det(A)xDet(B)=..**.

[dut]

En fait j'ai fait la matrice A* A.

Je pense que je n'ai pas la bonne méthode, si je prends les exemples du tableau ça donne B=
$\left[\begin{array}{ccccccccccccccccccc}1& amp;0& amp;3& amp;41& amp;1& amp;1& amp;-11& amp;0& amp;2& amp;11& amp;0& amp;1& amp;11& amp;0& amp;3& amp;41& amp;1& amp;1& amp;-1\end{array}\right]$

Puis je fais (1121)+ (1014) + (103*-1) + (101) -[ 102*-1) + (101*1)

Donc le déterminant de B=2

[mtschoon]

Pour AxA =A², le déterminant vaut 81

Mais, larègle de Sarrus est une méthode simple commode pour les déterminants 3x3 mais elle n'est pas généralisable !

Tu ne peux pas l'appliquer pour calculer un déterminant 4x4

Pour B, en développant par rapport à la première ligne, le calcul se fait assez facilement.
Je viens de vérifier, la réponse pour Det(B) est bien -3 (et Det(A) vaut bien 9)

[dut]

Alors on ne peut se servir de sarrus que pour des déterminants 3x3 ça j'ai compris.
Mais alors comment dois je faire pour l'exercice ?

[mtschoon]

Tu appliques la méthode générale valable dans tous les cas.
ça doit être prévu dans ton cours.

[dut]

Les calculs que je fais pour À me donne
121 -11-1+ 211 -[ -122 +1+1] mais cela me donne 7

[dut]

Pour B je trouve bien -3 par contre pour A je trouve 11

[mtschoon]

Pour A, en prenant la première colonne (grace aux 0)

$det(a)=1\times \left|\ 1\ 1\ -1\-1\ 2\ \ 1\\ 2\ 1\ \ 1\right|= \left|\ 1\ 1\ -1\-1\ 2\ \ 1\\ 2\ 1\ \ 1\right|$

Avec Sarrus, recompte

Det(A)=[2+1+2]-[-4+1-1]=5+4=9

Pour t'entraîner, tu peux aussi utiliser la méthode usuelle

En développant avec la première ligne :

Det(A)=1(2-1)-1(-1-2)-1(-1-4)=1+3+5=9

CQFD

Au final, si tu as compris les propriétés que je t'ai indiquées dans ma première réponse :

Det(A²)=9²=81
$Det(A$^3$)=9^3$=729
Det(AxB)=9x(-3)=-27

[dut]

Merci beaucoup tous les exercices avec cette méthode que je n'arrivais pas à faire je trouve bien les mêmes résultats de la correction.
Par contre pour l'exercice il me demande le déterminant de AB^t mais que représente ce t?

[mtschoon]

Rappelle toi bien que la règle de Sarrus est un procédé simple qui ne s'applique qu'aux matrices 3x3

t veut dire "transposé"
La transposée d'une matrice A est la matrice $A^t$ obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A

exemple simple :

$a=[1\ 2\4\ 3]$

$a=[1\ 4\2\ 3]$

Une matrice et sa transposée ont même déterminant.

Par contre, ton écriture me parait confuse.

S'agit-il de $(AxB{)}^t$ ou $Ax{B}^t$ Je l'ignore...

[dut]

Il doit s'agir de la première proposition car il a noté sur la feuille AB^t

[mtschoon]

OK.

De toute façon, vu que c'est de déterminant qu'il te faut, l'interprétation ne changera pas le résultat final du déterminant.

[dut]

Dois je faire a*b puis ensuite calculer la transposé.
Ou dois je transposer A puis B

[mtschoon]

En langage de matrices :$\text{(ab)^t=b^t.a^t$

(Attention au changement de l'ordre)

S'il s'agit de calculer le déterminant, tu as le choix.

Comme je te l'ai déjà indiqué, une matrice et sa transposée ont même déterminant.
Donc, tu calcules comme tu veux

$\text{{det(ab)^t=det(ab)=deta.detb$

$\text{det(ab)^t=det(b^t.a^t)=detb^t.deta^t=detb.deta=deta.detb$

[dut]

Si det (AB)^t = det A×B alors le déterminant est égal -27 ?

[mtschoon]

OUI

[dut]

Merci beaucoup Mtschoon.
j'espère vraiment que j'aurais une bonne note demain mais avec le temps où vous avez passé à m'expliquer ça devrait aller.
Bonne soirée.

[mtschoon]

De rien, Dut, et bon DS !

Un conseil (déjà dit souvent l'an passé).
Ce serait bien que tu te fasses une fiche de synthèse sur les matrices, déterminants, résumant toutes les définitions et propriétés utiles.
Ainsi, en relisant ta fiche, en peu de temps, tu reverrais tout le cours.

Bon travail et bonne semaine.