Exercice de Théorie de la Mesure
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EEmeraude_S dernière édition par
Bonjour,
J'ai un exercice à traité pour me préparer au partiel de la théorie de la mesure, mais j'ai un peu de mal à comprendre l'énoncé (pour ne pas dire beaucoup), ce qui me bloque dès la première question.
Voici l'énoncé :
Soit $x:=\left{0,1 \right}^n$, l'ensemble des suites de 0 et de 1.
Pour $\alpha _n=\left(\alpha _0,\alpha _2,...,\alpha n-1\right)\in \left{0,1 \right}^n$, on définit le cylindre : $t\alpha _n:=\left{u\in \left{0,1 \right}^n, \forall i\leq (n-1), u_i=\alpha _i \right}$
On considère C l'ensemble de tous les cylindre $t_\alpha _n$ pour tous les αn\alpha _nαn dans $\left{0,1 \right}^n$ et tous les n∈N.
On appelle T la tribu engendrée par C.On définit la mesure μ(tα<em>n)\mu (t_\alpha <em>n)μ(tα<em>n) par μ(t</em>αn)=2−n−1\mu (t</em>\alpha _n)=2^{^-n-1}μ(t</em>αn)=2−n−1 et on admet que μ\muμ se prolonge bien en une mesure sur T.
1- Montrer que μ(x)=1\mu (x)=1μ(x)=1. Montrer que C est un π-système.
Je bloque dès cette question, j'ai un problème avec l'énoncé, et du coup, je n'arrive pas à exprimer clairement X afin de calculer μ(x)\mu (x)μ(x).2- Soit u=(un)∈xu=(u_n)\in xu=(un)∈x, pourquoi a-t-on $\left{u \right}\in t$? Montrer que $\mu\left{u \right}=0$( on pourra considérer le cylindre $t_\alpha _n$pour α<em>n=(u0,...,u</em>n−1)\alpha <em>n=(u_0,...,u</em>{n-1})α<em>n=(u0,...,u</em>n−1).
3- On dit qu'une suite u=(un)∈xu=(u_n)\in xu=(un)∈xest périodique s'il existe n∈n∗n\in n^*n∈n∗ tel que ∀k∈nuk=un+k\forall k\in n u_k=u_{n+k}∀k∈nuk=un+k
Soit xperx_{per}xper l'ensemble des suites périodiques. Montrer que xperx_{per}xper est dénombrable et en déduire que xper∈tx_{per} \in txper∈t et μ(xper)=0.\mu (x_{per} )=0.μ(xper)=0.
L'exercice compte d'autres question, mais je pense que si l'on pouvait m'expliquer l'énoncé, je pourrais me débloquer pour les premières questions.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Cordialement.
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Je vais tenter de t'éclairer un peu sur les données de ton énoncé.
$\text{t_{\alpha_n}$ est l'ensemble des αi\alpha_iαi , i variant de 0 à n-1
Tu peux déduire que :
$\fbox{\text{x=\bigcup_{n \ge 0}t_{\alpha_n}}$
La définition écrite pour la mesure n'est pas très claire.
Je suppose que : $\text{\mu(t_{\alpha_n})=2^{-n-1}$
Pour calculer $\text{\mu(x)$, utilise la propriété de la mesure relative à l'union.
$\text{\mu (x)=\sum_{n\ge 0}\mu(t_{\alpha_n})=\sum_{n\ge 0}2^{-n-1}$
En utilisant la formule de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique
$\text{\mu (x)=\lim_{n\to +\infty} 2^{-1}\times \frac{1-(2^{-1})^n}{1-2^{-1}}=2^{-1}\times \frac{1}{1-2^{-1}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$
Donc$\fbox{\mu(x)=1}$
*Comme te l'a indiqué Mathtous dans une précédente discussion, tu peux trouver des éléments intéressants sur le site des mathématiques.net
*http://www.mathforu.com/sujet-23188.html
Bon courage pour ton partiel .