Equations différentielles ordre1,2



  • Bonjour,

    Je rencontre des difficultés à résoudre deux équations d'un exercice :

    E1 : y'(t)+y(t)= exp(t)

    E2 : y'(t) - 2ty(t) = t*exp(t²)

    Je n'ai pas compris la méthode en cours (étant arrivé à la fin de la leçon) et je ne trouve pas d'exemple de résolution similaire.

    Du peu que j'ai compris, pour E1 on doit résoudre l'équation caractéristique
    y'+y=0
    avec solution k*exp(-t)

    Si c'est bien ça, je n'ai pas compris et je ne vois pas comment faire la résolution avec second membre.

    Merci d'avance pour votre aide.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je te joins un cours :

    http://www.math.u-psud.fr/~jennifer/Enseignement_files/Cours5.pdf

    Reposte si ce n'est pas assez clair.



  • Justement c'est le cours que j'avais vu de mon côté mais qui reste flou pour moi. Auriez vous un exemple corrigé, avec E1 ou peu importe pour que j'essaye de comprendre le raisonnement sur un exemple ?


  • Modérateurs

    Je te fais la première résolution (E1)

    1. Solution générale de l'équation sans second membre ( on dit aussi homogène) y'+y=0

    y=kety=\fbox{ke^{-t}} , avec k constante (tu l'as trouvé)

    1. Solution particulière y\overline{y} de l'équation avec second membre y+y=ety'+y=e^t

    Méthode par variation de la constante k qui devient k(t)

    On cherche y\overline{y} sous la forme y=k(t)et\overline{y}=k(t)e^{-t}

    En dérivant par rapport à t

    y=k(t)et+k(t)(1)et\overline{y}'=k'(t)e^{-t}+k(t)(-1)e^{-t}

    y+y=et\overline{y}'+\overline{y}=e^t (**)

    En remplaçant y\overline{y} et y\overline{y}' par leurs expressions dans l'équation (**) et en simplifiant, on obtient :
    k(t)=e2tk'(t)=e^{2t}

    En prenant une primitivek(t)=12e2tk(t)=\frac{1}{2}e^{2t}

    Donc :y=12e2tet=12et\overline{y}=\frac{1}{2}e^{2t}e^{-t}=\fbox{\frac{1}{2}e^t}

    Conclusion : en ajoutant les deux ( 1) et 2) ), la solution générale de l'équation avec second membre est :

    $\fbox{y=ke^{-t}+\frac{1}{2}e^t$


  • Modérateurs

    Lorsque tu aurais compris (E1), pour (E2), je t'indique ce que tu dois trouver :

    y=ket2+t22et2\fbox{y=ke^{t^2}+\frac{t^2}{2}e^{t^2}}

    Tu peux bien sûr mettre et2e^{t ^2} en facteur

    Bons calculs !



  • Pour E1 j'ai finis par trouver et j'obtiens bien le même résultat.

    Pour E2 :

    1. l'équation homogène est :

    y'+2ty=0

    La solution est donc y= k*exp(-t^2)

    on pose y=g*exp(t^2)

    y'=g'exp(t^2)-2tg

    donc -2t*y+y' =exp(t^2)*g'
    g'=t
    g=t^2/2

    y= t^2/2*exp(t^2)

    J'ai donc bien le même résultat.



  • Sur le cas d'une équation différentielle du second ordre, j'ai :
    y''(t)-2ay'(t)+y(t) sur R

    J'aurai tendance à faire :

    aX²+bX+c=0

    soit X^2-2aX+1

    δ\delta= 4a²-4

    Je ferais ensuite les 3 cas de δ\delta mais comment trouver les constantes pour les solutions ( si c'est bien comme ça qu'on procède) ?.


  • Modérateurs

    Pour (E2), tu as peut-être fait des fautes de frappe en écrivant, car le membre de gauche n'est pas toujours le même (y'(t) - 2ty(t) ou y'(t)+2ty(t)... )

    Pour ta dernière question, je ne vois pas écrit le membre de droite...c'est 0 ou autre chose ?



  • Oui une faute s'est glissée, à la base c'est y'(t)+2ty(t)

    Pour l'autre question le membre de droite est égal à 0


  • Modérateurs

    Pour (E2), ma réponse est relative à l'énoncé de départ.

    Pour y''(t)-2ay'(t)+y(t)=0

    l'équation caractéristique est bien X²-2aX+1=0

    Δ=4a²-4

    Tu dois voir 3 cas : Δ=0 , Δ > 0 , Δ < 0

    Les constantes ne sont pas à déterminer.

    L'équation différentielle n'a pas UNE solution, mais une infinité (suivant les valeurs des constantes).


 

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