Systèmes linéaires matrices

Bonsoir,
Je bloque sur une partie d'un exercice de révision du DS.

On considère le système suivant ∑ $λ\lambda$ paramétré par $λ\lambda$ € R et portant sur les inconnues x, y et z donné par:
$\begin{align*} &=\lambda x+ (\lambda -1)y+ \lambda z= 2\lambda -1 \ &=(\lambda -1)y+\lambda z = \lambda -1 \ &=\lambda x+ \lambda z=\lambda \end{align*}$

En déduire à quelles conditions sur \lambd ce système posséde une unique solution.
Résoudre le système pour en donner toutes les solutions.

Si vous pouviez me donner des pistes ça serait bien.

Bonsoir,

Pour répondre à la question 3, tu calcules D déterminant principal du système.

La condition pour que ce système possède une unique solution est D ≠ 0

Indique tes réponses et nous vérifierons.

je trouve $λ\lambda$ pour le déterminant.

Recompte.

Sauf erreur, $d=(λ−1)λ2d=(\lambda-1)\lambda^2$

pour trouver le Det j'ai developper selon la 1er colonne.( l1=l1-l3)
$λxamp;0amp;λz)\begin{pmatrix} 0 &\lambda y-y &0 \ 0& \lambda y-y&\lambda z \ \lambda x & 0 & \lambda z \end{pmatrix}$

Puis $λy−yamp;λz)\lambda x.\begin{pmatrix} \lambda y-y &0 \ \lambda y-y& \lambda z \end{pmatrix}$

Est-ce un problème de méthode ou de calculs?

Je ne comprends guère ce que tu as fait...

Je t'indique le déterminant principal du système.

$d=\left|\lambda\ \lambda-1\ \lambda\0\ \lambda-1\ \lambda\\lambda\ \ 0\ \ \ \ \lambda\right|$

Tu le calcules.

Bonjour,
En utilisant la méthode de Sarrus je trouve bien le bon déterminant.
J'utilisais le méthode qui fait apparaître des 0 pour calculer le déterminant.

Condition= déterminant différent de 0 soit lambda différent de 0 et 1.

C'est bon maintenant.

Tu peux passer à la résolution du système

Pour x j'obtient grâce a Sarrus:

1/(lambda^2 (lambda -1) x lambda^3 + lambda^2 -3lambda +1

Je ne comprends pas ta réponse pour x ...

Dans le cas D≠0, c'est à dire λ différent de 0 et de 1, tu dois trouver x=1, y=1, z=0

Tu as plusieurs méthodes usuelles possibles :

Prendre l'écriture matricielle du système et utiliser la matrice inverse
ou bien Triangulariser le système avec le pivot de Gauss
ou bien Utiliser les formules de Cramer avec les déterminants (si tu connais)

Ici, vu que ce système est très particulier, il y a plus simple.
Vu que les deux dernières équations ne contiennent que deux inconnues, la méthode directe par substitution me semble la plus rapide.

Dans la seconde équation, tu exprimes y en fonction de z
Dans la troisième équation, tu exprimes x en fonction de z
Tu substitues dans la première équation dont la seule inconnue sera z, que tu résous.
Lorsque que tu auras z (qui vaut 0), tu en déduis x et y.

Choisis la méthode que tu préfères.

en cours on utilise le pivot

pour faire apparaitre le 0 au niveau de la ligne3 colonne 2 : j'ai fait L3= L3 X L2

mais à la fin z=lambda ce qui est # de 0

Drôle de pivot que tu fais là !

Revois peut-être ton cours : on fait des combinaisons linéaires de lignes mais jamais des produits de lignes...avec le pivot.
En plus, ce n'est pas le véritable produit de lignes que tu as fait...

Observe ce système qui est très particulier

Si tu veux avoir x, il te suffit de faire (L1)-(L2)

Si tu veux avoir y, il te suffit de faire (L1)-(L3)

Tu termines en remplaçant x et y par leurs valeurs dans une des 3 équations pour trouver pour trouver z

Pas facile, on n'a jamais vu de tels systèmes.
Néanmoins pour :

x= $λλ\frac{\lambda }{\lambda}$ =1

y= $λ−1λ−1\frac{\lambda -1 }{\lambda-1}$ = 1

mais z= $λ−λλ=0\frac{\lambda - \lambda }{\lambda} = 0$

C'est bien ça?

Oui , c'est ça , bien sûr dans le cas où λ≠0 et λ≠1

Dans ce cas , en appelant S l'ensemble des solutions : $s={ (1,1,0) }$

Maintenant, il te reste à voir les cas λ=0 et λ=1, cas où il n'y aura pas un triplet unique de solutions.

Mais si c'est l'ensemble des solutions cela n'a t-il pas répondu a la question donner toutes les solutions.

NON.

L'énoncé t'indique : $λ∈r\lambda \in r$

Tu as traité le cas $λ∈r−0,1\lambda \in r-{0,1}$

Il te reste à faire le cas $λ=0\lambda=0$ et le cas $λ=1\lambda=1$

Dans ces deux derniers cas, tu n'auras pas un triplet unique de solutions (comme déjà indiqué)

dut
Pas facile, on n'a jamais vu de tels systèmes.
Néanmoins pour :

x= $λλ\frac{\lambda }{\lambda}$ =1

y= $λ−1λ−1\frac{\lambda -1 }{\lambda-1}$ = 1

mais z= $λ−λλ=0\frac{\lambda - \lambda }{\lambda} = 0$

C'est bien ça?

Citation
ça me parait un peut trop simple, pour être la solution......ça me parait surtout illogique...
tu ne peux pas appliquer pour λ=0 et λ=1 des formules qui ne sont pas valables pour λ=0 et λ=1

il y a une réelle contradiction

Remplace λ par 0 dans le système et résous directement.

Idem pour λ=1

Si je remplace lambda par 0 au niveau de la matrice du déterminant.

J'obtiens: lambda. $0)\begin{pmatrix} \ 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$ + $0)\begin{pmatrix} \ 0 \ 1 \ 0 \end{pmatrix}$

Ce qui donne si pas d'erreur: $0)\begin{pmatrix} \ 0 \ \lambda +1 \ 0 \end{pmatrix}$

Je suis encore à côté ou pas?

........? !

Pour λ=0, le système devient, après réduction

$\left{-y=-1\ -y=-1\0=0\right$

c'est à dire y=1 et x et z quelconques

L'ensemble S des solutions est l'ensemble de tous les triplets de la forme (x,1,z), avec x et z réels quelconques.
Il y a donc une infinité de solutions.

Traite de même le cas λ=1

Pour lambda 1:

X= 1
Y=0
Z=0

Pour λ=1, le systèmen'a pas un triplet unique de solutions (car dans ce cas D=0)

donc, revois ta réponse.

Que veut dire triplet unique je n'ai rien concernant ça dans le cours?

Un triplet est un ensemble ordonné de 3 valeurs.

Ici , le système est à 3 inconnues x,y,z.

Lorsque tu trouves, pour solution x= 1, y=0, z=0, le "triplet solution" est (1,0,0). Si c'est le seul triplet solution, on dit qu'il est unique.

Si tu n'as pas l'habitude d'employer ce terme, ça n'a aucune importance, ne l'emploie pas.
Regarde l'énoncé de la 1): il parle de solution unique
Cette solution unique est composéede 3 valeurs : une pour x, une pour y, une pour z.
Je t'ai appelé cela un triplet, c'est tout.

J'ignore comment s'exprime ton professeur...prends ses habitudes, pas celles du forum; l'essentiel est de comprendre.

Remarque : Si tu avais un système de deux équations à 2 inconnues x,y, tu travaillerais dans R², ensemble des couples (x,y).
Si tu trouvais x=1 et y=2, tu pourrais dire que le "couple solution" est (1,2).
Tu pourrais bien sûr dire aussi que le système a une solution unique composée de 2 valeurs x=1 et y=2. C'est pareil .

Pour revenir à λ=1, le système devient, après réduction :

$\left{x+z=1\z=0\x+z=1\right$

Tu peux déduire que x=1 et qu'il n'y a aucune condition sur y ; y peut prendre toute valeur réelle.

L'ensemble des solutions est l'ensemble des triplets (1,y,0) avec y réel.
Il y a une infinité de triplets solutions.

*Vu tes difficultés sur cet exercice, je te fais une synthèse des résultats, sans employer le mot "triplet", vu que tu n'as pas l'habitude, ce que j'ignorais.
*
Soit D le déterminant principal de système (qu'il faut calculer)

1er cas : D≠0, c'est à dire λ différent de 0 et de 1

Le système a une UNIQUE SOLUTION : x=1,y=1,z=0

2ème cas : D=0, c'est à dire λ égal à 0 ou λ égal à 1

--> 1er sous-cas : λ = 0

Le système a une INFINITE de SOLUTIONS :

x réel quelconque, y=1, z réel quelconque

--> 2ème sous-cas : λ = 1

Le système a une INFINITE de SOLUTIONS :

x=1,y réel quelconque ,z=0

J*e te suggère de refaire seul cet exercice pour être sûr de maîtriser son fonctionnement.

Bon travail.*

Merci beaucoup pour tout ce temps et toute cette aide.
J'ai déjà commencé à reprendre le chapitre du début, mais je suis très inquiet pour le DS qui est dans une semaine( ça va être une véritable catastrophe).

Bon courage pour tes révisions et garde le moral !