Calcul intégral Encadrement

Bonjour, j'ai un DL a rendre (facultatif), mais que j'aimerai bien finir....Mais je sèche sur une partie d'une question, il faut montrer que :
$∀y∈[0,1],0≤∫0yun+11+u≤1n+2,n∈n\forall y\in [0,1], 0\leq \int_{0}^{y}{}\frac{u^{n+1}}{1+u}\leq \frac{1}{n+2}, n\in n$
J'ai réussi pour la borne inférieur, en montrant que l'intégrande est positive, mais je n'arrive à trouver la borne supérieure, malgré plusieurs tentatives infructueuses...
De même, plus loin dans le devoir, j'ai besoin de montrer que
$lim⁡n→∞∫0x(−t2)n+11+t2dt=0\lim_{n\rightarrow \infty } \int_{0}^{x}{\frac{(-t^{2})^{n+1}}{1+t^{2}} dt}=0$
Je suppose qu'il faut faire de la même manière, c'est-à-dire encadrer l'intégrale est utiliser un bête théorème des gendarmes, mais je ne vois pas comment l'encadrer.
Des pistes...?
Merci par avance.

Bonjour,

Je reste perplexe sur ce que tu écris...

Dans la première formule, il a un "u" et un "U" et de plus la variable d'intégration n'est pas indiquée...(il manque "d...")

Dans la seconde formule, tu ne dis rien sur x

Merci d'améliorer l'énoncé.

Oui, désolé, j'ai oublié deux-trois précisions, le "u" et le "U", c'est la même variable, et j'ai oublié de "du". Pour ce qui concerne le x, il appartient à [0,1]. ( au passage, le "n" de la seconde intégrale appartient à N)

D'accord; C'est plus clair ainsi !

Quelques pistes,

0 ≤ y ≤ 1 donc 0 ≤ u ≤ 1 donc 1 ≤ 1+u ≤ 2

Au final : $12≤11+u≤1\frac{1}{2} \le \frac{1}{1+u}\le 1$

Donc :

$un+11+u≤un+1\frac{u^{n+1}}{1+u}\le u^{n+1}$

$\bigint_0^y \frac{u^{n+1}}{1+u}du \le \bigint_0^y u^{n+1}du$

$\bigint_0^y u^{n+1}du=[\frac{u^{n+2}}{n+2}]_0^y$

Tu n'auras pas de difficulté pour justifier que

$[un+2n+2]0y≤1n+2[\frac{u^{n+2}}{n+2}]_0^y\le \frac{1}{n+2}$

Pour la deuxième formule à prouver, utilise l'encadrement trouvé à ta première question en posant $u=t^2$

(Fait attention au "-")

Merci beaucoup !

De rien !

Bon DM.