3. Equations différentielles ordre 1 avec exponentielle au second membre

Equations différentielles ordre 1 avec exponentielle au second membre

  • P

    Bonjour,
    je viens vous demander de l'aide quant à la résolution de cette eq. diff. :

    y′+2y=3e−2xy'+2y=3e^{-2x}y′+2y=3e−2x

    je commence ma résolution par yhy_{h}yh​, j'ai donc :

    yh=ke−2xy_{h} = ke^{-2x}yh​=ke−2x

    maintenant, c'est là que ça se complique pour moi, je cherche ypy_{p}yp​, dans mon poly de cours il est écrit que si j'ai un c(x)c(x)c(x) (second membre) =p(x)esx=p(x)e^{sx}=p(x)esx avec p(x)p(x)p(x) un polynôme de degré n, alors la solution ypy_{p}yp​ vaut soit :

    -un polynôme q(x)q(x)q(x) de degré n+1 si −ba=s-\frac{b}{a} = s−ab​=s
    -un polynôme q(x)q(x)q(x) de degré n si −ba≠s-\frac{b}{a} \ne s−ab​​=s

    on sait que −ba=−2-\frac{b}{a}= -2−ab​=−2 , que s=−2s=-2s=−2 et que deg(p(x))=deg(3)=0deg(p(x)) = deg(3) = 0deg(p(x))=deg(3)=0 alors yp=q(x)=ax+by_{p}= q(x) = ax+byp​=q(x)=ax+b alors yp′=q′(x)=ay'_{p}= q'(x) = ayp′​=q′(x)=a
    je remplace dans mon équation :

    y′<em>p+2y</em>p=3e−2xy'<em>{p}+2y</em>{p}=3e^{-2x}y′<em>p+2y</em>p=3e−2x

    ce qui me donne :

    a+2(ax+b)=3e−2xa+2(ax+b)=3e^{-2x}a+2(ax+b)=3e−2x

    et c'est là que je suis bloqué, je n'ai rien de plus dans mon poly que la forme des solutions particulières, alors j'ai tenté "d'injecter" mon polynôme dans l'équation d'origine, mais ça me donne une équation dont je n'ai aucune idée de ce à quoi elle pourrait bien me servir, quand bien même j'isolerais x, je ne sais pas à quoi ça me servirait.
    Je suis complètement bloqué, je viens vous demander de l'aide parce que je sais que ce n'est pas une équation différentielle compliquée mais je ne sais pas comment m'y prendre pour arriver au résultat que je connais déjà :

    y(x)=k1e−2x+3e−2xxy(x) = k_{1}e^{-2x}+3e^{-2x}xy(x)=k1​e−2x+3e−2xx

    c'est vraiment la démarche que j'aimerais comprendre pour le cas des eq diff dont le second membre se compose d'un polynôme facteur d'un exponentiel 😄

    Je vous remercie beaucoup d'avance !

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonjour,

    Si j'ai bien compris, tu cherches une solution particulière de (E) de la forme :
    yp(x)=(ax+b)e−2xy_p(x)=(ax+b)e^{-2x}yp​(x)=(ax+b)e−2x

    Tu as peut-être fait des erreurs de calculs car l'égalité que tu as écrite avec a et b est inexacte.

    Tu dois trouver

    yp′(x)=(a−2ax−2b)e−2xy_p'(x)=(a-2ax-2b)e^{-2x}yp′​(x)=(a−2ax−2b)e−2x

    Après avoir remplacé ypy_pyp​(x) et y'p_pp​(x)dans (E), sauf erreur, tu dois obtenir après simplifications :

    ae−2x=3e−2xae^{-2x}=3e^{-2x}ae−2x=3e−2x

    D'où a=3 et b quelconque ( tu peux prendre b=0)

    Une solution particulière de (E) est donc :

    yp(x)=(ax+b)e−2x=(3x+0)e−2x=3xe−2xy_p(x)=(ax+b)e^{-2x}=(3x+0)e^{-2x}=3xe^{-2x}yp​(x)=(ax+b)e−2x=(3x+0)e−2x=3xe−2x

    Tu obtiens bien ainsi la solution générale de (E) que tu proposes.

    P 1 réponse
  • P

    Merci beaucoup pour cette réponse rapide !
    c'était effectivement ma dernière égalité qui était fausse.
    J'ai bien compris le principe maintenant !

    Merci énormément, ce forum est vraiment super 😄

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    De rien !

    A+

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