equation diferentielle



  • bonjour,

    coment resoudre cette equation:

    (1/x)y'(x)+(2x)y(x)=4x^2-2x

    merci davance!^^



  • on va voir si je me souviens bien :
    tu cherches une solution particulière et une solution homogène, et tu les additionnes
    je veux bien te trouver la solution homogène :
    y'/x + 2xy = 0
    y' = -2x²y
    si on prend y(x) = exp(-2/3 x^3)
    en dérivant tu obtiens :
    y'(x) = -2/3 * 3x² exp(-2/3 x^3)
    y'(x) = -2x²exp(-2/3 x^3)
    y'(x) = -2x² y



  • Pour la suite (ca me fait me replonger dans mes cours, c'est pas si mal), tu opères en faisant une variation de la constante :
    Appelons y0y_0 ta solution particulière.
    y(x)=(lambda)(x) y0y_0(x) où (lambda)(x) définie et dérivable de ton intervalle de départ dans ton intervalle d'arrivée
    on a y0y_0 diff/ 0 pour tout x app/ R donc on peut écrire :
    (lambda)(x) = y(x) / y0y_0(x)
    on a y dérivable ssi (lambda) dérivable
    y solution de ton équation (que nous allons appeler ensuite E avec (E) : a(x)y' + b(x)y = c(x) si on s'en re-sert et I ton ensemble de départ...)
    equiv/ qqsoit/ x app/ I a(x)((lambda)'(x)y0(x)y_0(x) + (lambda)(x)y0(lambda)(x)y_0'(x)) + b(x)(lambda)(x)y0b(x)(lambda)(x)y_0(x) = c(x)
    equiv/ qqsoit/ x app/ I a(x)(lambda)'(x)y0(x)y_0(x) = c(x)
    (ton expression se simplifie, je te laisse faire le calcul si ca t'amuse)
    equiv/ qqsoit/x app/ I (lambda)'(x) = c(x)/(a(x)y0c(x)/(a(x)y_0(x))

    tu cherches une primitive de (lambda), tu la multiplies par y0y_0 et t'as ta solution particulière (je vais faire le calcul rapidement mais le calcul, ce n'est pas mon fort donc je ne peux que tu recommander de le refaire)



  • (lambda)'(x) = (4x² - 2x) / ((exp(-2/3 x^3) / x)
    (lambda)'(x) = (4x - 2) exp(2/3 x^3)

    ca m'a pas l'air tres drole à intégrer donc je te laisse le faire (la solution est peut etre evidente, mais j'ai la flemme de chercher :p)
    tu as ensuite y(x) = (lambda)(x)y0(lambda)(x)y_0 (x) + (mu)y0(mu)y_0
    avec (mu) app/ I



  • coment affirme tu y()0 diff/ 0

    pour le reste je te remercie je men sortirai^^
    merci encore

    pardon je captais pas ke y0 est la soluce de lequa homogene
    tout deviens claire maintenent^^


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