espace vectoriel Algèbre linéaire

Bonjour,
Il n'est pas encore trop tard pour souhaiter une très bonne année à tous.

j'essaie de refaire un exercice mais j'ai du mal:

Espace vectoriel de polynômes: Montrer que l'ensemble
des polynômes de degré inférieur ou égal à 2, noté R2[X], est un espace
vectoriel.

Je ne comprends la correction que j'ai, de plus à un moment il y a noté stabilité je ne comprends pas le terme dans ce contexte.

Merci par avance

Bonjour Dut,

Merci pour tes voeux et bonne année à toi !

C'est difficile de te répondre sans connaître le contexte de l'exercice.

Si ton cours ne dit rien sur l'ensemble E des polynômes à coefficients dans R (muni de l'addition et de la multiplication par un réel) , il faut, pour les polynômes de degré inférieur ou égal à 2, revenir à la définition d'espace vectoriel et prouver que toutes les propriétés sont satisfaites.

des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 est un

sous espace vectoriel de E

Dans ce cas seulement deux choses sont à prouver:

est non vide

est stable par combinaison linéaire ( ou bien que stable pour l'addition et la multiplication par un réel )

Merci de préciser ton cours.

Après l'exercice il y a noté:
Remarque: Plus généralement, l'ensemble des polynômes de degré
inférieur ou égal a n, noté Rn[X], est un espace vectoriel.

Cela signifie que c'est votre 2 ème proposition?

Pas tout à fait...

est le cas général dont R2[X] est un cas particulier.

Regarde ton cours ( non cet exercice) . Tu sais peut être que l'ensemble des polynômes à coefficients dans R (muni de l'addition et de la multiplication par un réel), quels que soient leurs degrés, est un espace vectoriel.

Cela expliquerait que ta correction parle de stabilité.

Alors dans le cours c'est noté sous forme de méthodologie mais bien présent.

c F(R,R)

Mais aussi:

non vide ? -> 1 exemple concret 2x^2 + x +1

Comment je sais que c'est non vide?

OK

Citation

c F(R,R)

F[R,R] est l'ensemble des fonctions de R vers R.
Quelque part, ton cours doit t'indiquer que cet ensemble F[R,R]( muni de l'addition et de la multiplication par un réel) est un espace vectoriel sur R

est inclus dans F[R,R] (car c veut dire "inclus" ( ou "contenu" si tu préfères, pour expliquer le symbole qui ressemble à un "c")

est un sous espace vectoriel de F[R,R] (car tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel est un espace vectoriel)

C'est donc ma seconde proposition qu'il faut prendre.

vide ?

Dans le cours à coté de "vide" il y a 1 exemple concret 2x^2 + x +1 ou 0X^2 +0x + 0

Qu'est ce que cela veut dire?

un ensemble vide veut dire "un ensemble ne contenant aucun élément"
Par exemple, l'ensemble desréels dont le carré vaut -1 est vide.

Pour utiliser l'exemple indiqué, 2X²+X+1 est un polynôme de degré 2.

donc R2[X] n'est pas vide.

Pour t'expliquer la stabilité, il faut que tu précises la méthode de ton cours :

est-ce la "stabilité par combinaison linéaire" ( un seul calcul à faire) ou
"stabilité pour l'addition et la multiplication par un réel" (deux calculs à faire) ?

Les deux méthodes sont exactes mais indique celle qui te convient.

Dans le cours pour la stabilité il y a marqué: "Montrer que le sous-espace est stable pour l'addition et pour la multiplication externe en montrant que les résultats de ces deux opérations vérifient la propriété constructrice."

cela signifie, à mon avis, 2 calculs distincts.

Tout à fait, il faut deux calculs distincts.

Stablilité pour l'addition

J'ignore les notations de ton cours...adapte

Soit deux polynômes P et Q de R2[X]

$\text{p=ax^2+bx+c\ et \ q=a'x^2+b'x+c'$ (avec a,b,c,a',b',c' coefficients réels)

$\text{p+q=ax^2+bx+c+a'x^2+b'x+c'=ax^2+a'x^2+bx+b'x+c+c'$

En regroupant les termes :

$\text{p+q=(a+a')x^2+(b+b')x+(c+c')$

P+Q est un polynôme de la forme$\text{ \alpha x^2+\beta x+\gamma$ (avec α, β, γ coefficients réels)
$\text{\alpha=a+a'\ \beta=b+b'\ \gamma=c+c'$

Donc P+Q appartient à R2[X]

Conclusion :

est stable pour l'addition.

: c'est ça la stabilité pour l'addition.

C'est la même logique pour la multiplication externe (par un réel).

Je te détaille la stabilité de la multiplication externe (par un réel).

La multiplication d'un polynôme par un réel est une opération "externe

par un élément qui n'appartient pas à l'ensemble (un nombre réel).

Soit P un polynôme de R2[X]

$\text{p=ax^2+bx+c$ (avec a,b,c coefficients réels)

Soit k un nombre réel

$\text{kp=k(ax^2+bx+c)=kax^2+kbx+kc$

kP est un polynôme de la forme $αx2+βx+γ\alpha x^2+\beta x+\gamma$ (avec α, β, γ coefficients réels)
$\text{\alpha=ka\ \beta=kb\ \gamma=kc$

Donc kP appartient à R2[X]

Conclusion :

est stable pour la multiplication (externe) par un réel.

: c'est ça la stabilité pour la multiplication (externe) par un réel.

Bonne réflexion !

Bonsoir Mtschoon,
Merci beaucoup je vais reprendre tout ça demain.
Bonne soirée et bon dimanche.

Bon dimanche à toi.