Algèbre linéaire Isomorphisme



  • Bonsoir,
    je dois donner la nature de l'application suivante:

    R^2 -> R
    (x,y) ->x+y

    j'ai trouvé qu'elle n'était ni endo ni automorphisme.

    Mais comment faire pour voir s'il est bijective et donc isomorphisme?


  • Modérateurs

    Bonsoir

    Je suppose que tu as démontré que cette application est linéaire .

    Pour dire NON, un contre-exemple suffit.

    (1,3) -> 4
    (2,2) -> 4

    Ces deux couples (1,3) et (2,2) ont la même image dont l'application n'est pas bijective , ce n'est donc pas un isomorphisme.



  • Mais pourquoi c'est valeurs, je n'ai pas du tout compris.
    Rien nous empêche de faire par exemple:
    4+4=8
    3+2=5
    ?????????


  • Modérateurs

    Revois la définition du mot "bijection"

    Pour savoir si cette application de R² vers R est une bijection, il faut savoir si tout couple (x,y) de R² a uneimage unique dans R et si tout élément de R a un antécédent unique dans R².

    Si tu trouves un exemple qui ne correspond pas à cela, c'est que l'application n'est pas bijective

    Par exemple :

    4+4=8
    5+3=8
    6+2=8
    7+1=8
    etc

    8 a pour antécédents (4,4),(5.3), (6,2), (7,1) ...

    8 a plusieurs antécédents

    cela suffit par dire que l'application n'est pas bijective.



  • Oui ça va un peu mieux.
    Mais ce matin , j'ai essayé de trouver une méthode intermédiaire, j'ai l'impression que si on utilise les matrices et on calcul le déterminant et que ce dernier est différent de 0 alors l'application est bijective,
    C'est une fausse impression?


  • Modérateurs

    Ta méthode est floue car tu n'indiques pas ce que tu utilises...

    Mais si un déterminant non nul permet d'avoir une unicité (je ne sais pas trop de quoi, car tu ne l'indiques pas ) , ton idée est peut-être bonne pour prouver qu'une application est bijective.

    Détaille tes calculs si tu veux une vérification, mais dans l'énoncé que tu donnes, l'application n'est pas bijective (voir les contre-exemples)

    Idée :
    pour dire OUI, il faut une démonstration générale
    pour dire NON, un contre-exemple suffit


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