Algèbre linéaire Image et noyau

Bonjour, j'ai un petit contrôle lundi sur cet exercice mais quand je reprends ce qui a été noté en cours c'est du chinois.

Donner une base de l'image et du noyau des applications linéaires suivantes, et en déduire le rang de l'application linéaire :

F1= R^2 -> R^2
(X,y) -> (x,0)

F2= R^2 -> R^2
(X,y) -> (x, x+y)

F3= R^3 -> R^3
(X,y,z) -> (x+y+z , x+y -z , 2x + 2y)

Dans les premières lignes il y a noté x=0 et donc y quelconque et à partir de la 1er ligne je suis déjà perdu.

Merci

Bonjour,

Il faut que tu assimiles les définitions de ton cours,

J'essaie de t'expliquer ta première question relative à F1

a)**le noyau Ker(F1)**est l'ensemble des éléments de R² (ensemble de départ) qui ont pour image l'élément (0,0) de R² (ensemble d'arrivée)

(x,0)=(0,0) <=> x=0

y étant quelconque, Ker(F1) est l'ensemble des éléments (0,y) de R² (ensemble de départ).

(0,y)=y(0,1) donc {(0,1)} est une base de Ker(F1)

Ker(F1) ayant une base composée d'un élément, il est dedimension 1

2)L'image Im(F1) est l'ensemble des éléments de R² (ensemble d'arrivée) qui ont au moins un antécédent dans lR² (ensemble de départ).
Ici, sans calcul, Im(F1) est l'ensemble des éléments de la forme (x,0)

(x,0)=x(1,0).
{(1,0)} est donc une base de Im(F2)

Im(F1) ayant une base composée d'un élément, il est de dimension 1.

Le rang de F1 est la dimension de Im(F1) : c'est donc 1

Regarde cela de près.

Il y a un théorème dit "Théorème du rang" qui peut te permettre de vérifier s'il n'y a pas d'anomalie dans les réponses, mais j'ignore s'il fait partie de ton cours...Je te l'indiquerai éventuellement si tu le souhaites.

Propose éventuellement tes réponses pour F2 (puis pour F3 ensuite) si tu as besoin d'une vérification ou d'une aide.

Mtschoon, pour la première partie je bloque sur un petit point.
X=0 OK
Y quelconque

Mais d'où sort le 1 -> y(0,1) ?

Ps: on a évoqué le théorème du rang en classe

Réponse : Mise en facteur de y dans (0,y)

Vérification :

$\text{y(0,1)=(y\times 0 , y\times 1)=(0,y)$

Tu peux vérifier tes réponses de F1 avec le Théorème du rang :

dim Ker(F1)=1

dim Im(F1)=1

dim R² (ensemble de départ)=2

Tu as bien : dim Ker(F1) +dim Im(F1)= dim R² (ensemble de départ )

Bonjour,

Avant de faire F2 et F3
Je veux vraiment avoir compris F1.

"a) le noyau Ker(F1) est l'ensemble des éléments de R² (ensemble de départ) qui ont pour image l'élément (0,0) de R² (ensemble d'arrivée)"

Le (0,0) , si je ne m'abuse n'est pas dit dans l'énoncé donc est ce une généralité dans tous les cas il faudra mettre (0,0) ?

Après il est dit que y est quelconque, pourquoi et comment le savoir?

a) il faut mettre (0,0) lorsque l'ensemble d'arrivée en R²

Si l'ensemble d'arrivée était $R^3$ , il faudrait mettre (0,0,0)

Si l'ensemble d'arrivée était R, il faudrait mettre 0

Pour parler de façon rigoureuse, le noyau est l'ensemble des "vecteurs" de l'espace vectoriel de départ dont l'image est le "vecteur nul" de l'espace vectoriel d'arrivée.
Le "vecteur nul" de l'espace vectoriel d'arrivée est l'élément neutre pour l'addition vectorielle (loi interne) de l'espace vectoriel d'arrivée.
Je ne sais pas si ce langage te parle...
Regarde l'explication de ton cours

y est quelconque car il n'y a pas de condition relative à y

J'ai essayé de faire F2:

J'ai repris vos phrases , pour me forcer à aller au bout des explications,j'espère que vous ne m'en tiendrez par rigueur.

F2

noyau:
Le noyau Ker(F2) est l'ensemble des éléments de R^2 (ensemble de départ) qui ont pour image l'élément (0,0) de R^2 (ensemble d'arrivée).

(X, x+y) = (0,0)
D'où x=y=0
Donc dim(ker(F2)) =0 -> dimension 0

image:
L'image Im(F2) est l'ensemble des éléments de R^2 (ensemble d'arrivée) qui ont au moins un antécédent dans R^2 (ensemble de départ).

Th. Du rang dim( espace départ) (=2) = dim(im(F2)) + dim(ker(f2)) (= 0)
Donc Im(F2) = 2 -> dimension 2

De plus F2 est bijective n car dim(Im(f2))= dim(R^2)

Voilà mon idée, j'ai juste un problème il est marqué comme consigne pour celui là :
*image= chercher 2 vecteurs

Ton idée est bonne.

Si pour l'image l'énoncé te dit de chercher deux vecteurs formant une base de Im(F2), tu le fais.

Mises en facteur.

(x,x+y)=x(1,1)+y(0,1)

(1,1), (0,1) forment une base de Im(F2)

Vu que cette base est composée de 2 éléments : dim Im(F2)=2

Donc Im(F2)=R²

Pour F3:

X+y+z=0
x+y-z =0
2x+2y=0

J'ai était tenté de mettre tout ça dans une matrice après manipulation j'obtiens :

$0amp;0amp;−1∣0]\begin{bmatrix} 1& 1& 1 |0\ 0 & 0& -1|0\ 0 & 0& -1 |0 \end{bmatrix}$

Sur déterminé je supprime la dernière ligne qui est égale à la 2 eme.

Le debut est-il bon?
Si oui, que faire après ça ?

Je dirais : après , ne rien faire sauf tirer les conclusions.

La 2ème et 3ème ligne te permettent d'écrire -z=0 <=> z=0

La première ligne te permet d'écrire x+y+z=0

Vu que z=0, tu obtiens au final :

x+y=0
z=0

On vient de m'envoyer la correction.

Il est noté :"je supprime 1 équation au profit d'un degré de liberté "
X=° de liberté = lambda

X=lambda
Y = -lambda
Z= 0

Alors la pour le coup je ne comprends par le lambda car je suis plutôt d'accord avec vous sur le 0

Je ne t'ai pas donné la conclusion finale !

j'espérais que tu l'aurais trouvé seul...

Ce que l'on t'a donné est absolument exact : essaie de comprendre pourquoi.

pars de x+y=0 et z=0, et essaie de terminer.

Une remarque : les notations n'ont aucune importance !
Si λ ne te plait pas, tu peux mettre k ou même plus simplement laisser x

Je pense que x=-y et y=-x

Dim :2?

Il ne faut pas "tourner en rond"

Tu peux exprimer les éléments du noyau par exemple en fonction de x,(c'est à dire en utilisant y=-x) :

Les éléments de Ker F3 sont de la forme (x,-x,0) avec x quelconque.

Réfléchis pour la dimension en factorisant (x,-x,0)

Si je factorise ça fait x(1,-1,0)

Je n'ai peut été passé compris le terme dimension, mais je deux valeurs non nul d'où dim2

oui pour la factorisation.

DONC :

{(1,-1,0)} est une base de Ker F3

Cette base est composée d'un seul élément donc dim Ker F3=1

Ça ne doit pas être grand chose mais c'est quoi un élément ?
Il y a 1 et -1 ? Donc 2?

Vu que l'ensemble de départ est $R^3$ , Ker F3 est dans $R^3$

Tout élément de $R^3$ s'écrit sous la forme (x,y,z), c'est à dire un "triplet" de nombres réels.

Je suis d'accord avec ça , néanmoins je ne vois pas le 1.je suis vraiment désolé.

Citation
{(1,-1,0)} est une base de Ker F3

Cette base est composée d'un seul élément donc dim Ker F3=1

Revois peut-être les questions précédentes F1, F2 , car c'est toujours la même démarche.

Justement c'est ce que j'avais fait, mais je crois que j'ai un problème de définition.

Dans le premier (0,1) dim 1 car une valeur non nulle.
2eme dim0 car toutes les valeurs nulles.
Et pour le dernier on a x et y qui représentent deux vecteurs donc dim2

Effectivement, tu dois avoir des problèmes de définitions...
et tu ne peux rien faire sans comprendre les définitions...

J'ai l'impression que tu comprends pas ce qu'est unvecteur: c'est un élément d'un espace vectoriel
Sa nature dépend de l'EV considéré.

J'espère que tu sais ce qu'est une base d'un espace vectoriel (sinon approfondis ton cours...ici, ce n'est qu'un forum...)

Sais-tu ce que représente R² ?
C'est l'ensemble des couples (x,y) de deux nombres réels.

Les vecteurs de R² sont les couples (x,y)
exemples:
(1,-1) estUN élément de R², c'est à dire UN vecteur de R²
(1,-1), (-3,2) sontDEUX éléments de R², c'est à dire DEUX vecteurs de R²
(0,1), (6,4),(-2,0) sont TROIS éléments de R², c'est à direTROIS vecteurs de R²
(1,0),(5,4),(8,-1),(-1,-1) sont QUATRE éléments de R², c'est à dire QUATRE vecteurs de R

Sais-tu ce que représente $R^3$ ?
C'est l'ensemble des triplets (x,y,z) de trois nombres réels.

Les vecteurs de $R^3$ sont les triplets (x,y,z)
exemples:
(1,-1,1) est UN élément de $R^3$ ,c'est à direUNvecteur de $R^3$
(1,-1,2), (-3,2,1) sont DEUX éléments de $R^3$ , c'est à dire DEUX vecteurs de $R^3$
(0,1,2), (6,4,-1),(-2,0,4) sont TROIS éléments de $R^3$ , c'est à direTROIS vecteurs de $R^3$
(1,0,6)),(5,4,7),(8,-1),0,(-1,-1,3) sont QUATRE éléments de $R^3$ , c'est à dire QUATRE vecteurs de $R^3$

Quand on te dit que {(1,-1,0)} est une base de Ker F3, je ne vois pas comment tu ne peux pas comprendre que cette base est composée**d'un seul vecteur de $R^3$ **qui est (1,-1,0), donc que la dimension de Ker F3 est 1

Cas "exceptionnel": lorsque le noyau est composé seulement du vecteur nul (qui est (0,0) dans R², (0,0,0) dans $R^3$ ) dans ce cas, la dimension du noyau es 0

Ton cours dois t'expliquer que dans ce cas, le noyau n'as pas de base (ou , ce qui revient au même, que la base ne comporte aucun élément ) d'où dimension 0

Désolée si tu ne comprends toujours pas, je ne peux pas faire mieux.

Merci beaucoup Mtschoon sur ce point j'ai compris.
Je termine l'exercice
Encore merci.

Pour clore cet topic qui commence à être fort long, je te mets, pour vérification, des calculs nécessaires à Im F3

(x+y+z,x+y-z,2x+2y)=x(1,1,2)+y(1,1,2)+z(1,-1,0)

donc (x+y+z,x+y-z,2x+2y)=(x+y)(1,1,2)+z(1,-1,0)

{(1,1,2),(1,-1,0)} base de Im F3 doncdim Im F3=2

Tu peux vérifier avec le Théorème du rang et tu trouves ainsi :1+2 = 3

Merci beaucoup mtschoon.
Bonne fin d'après midi

De rien !

Un conseil : essaie d'assimiler ton cours avant de faire les exercices d'application ; ça serait mieux.

Bonne après-midi à toi.

Notre cours sont les exercices.
On nous lis juste les définitions en rapport avec les exercices puis on fait les exercices.
Puis c'est détaillé oralement pendant les exercices. Mais tout va très vite et vu que je suis long à noté...
Bonne soirée

Cette méthode n'est pas facile si les détails ne sont qu'à l'oral...

Cela explique tes difficultés.

Bon courage !