1 ere geometrie dans l'espace



  • je ne comprends pas tout a fait l'exercice suivant. pouvez vous m'expliquez les questions avec des exemples s'il vous plait????

    soit A(0;0;-1) B(2;0;1) C(-1;1;0) D(1;1/2;1)

    1. verifiez que les points a b c definissent un plan.
      2)montrez que les vecteurs AB, AC, et AD sont coplanaires.
      en deduire la position de D par rapport au plan ABC.
      3)determinez une equation cartesienne du plan ABC


  • les trois points definissent un plan si ils sont coplanaires entre autre tu doit verifier que (AB^AC).AC=0 ce qui est verifiable facilement puisque le produit vectoriel donne les composantes (-2,-4,2) et le produit scalaire avec AC donne 0, donc tes point appartiennent au meme plan.

    supposons que D appartient, au plan alors par la meme methode on peut deja essayer de savoir s'il verifie l'equation du plan :calculons (DB^DC).DC soit (-2,1/2,0)^(-2,1/2,1)=(1/2,1,1/2)
    le produit scalaire avec DC donne 0 donc d est inclus dans le plan.

    pour determiner l'equation du plan du type ax+by+cz+d=0
    ce dernier verifie les points A,B Cet D soit :

    -c+d=0 verifiant A
    2a+c+d=0 verifiant B
    -a+b+d=0 verifiant C
    a+1/2b+c+d=0 verifiant D
    donc tu a un systeme homogene de 4 equations pour 4 inconnues.


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