3D Projeté d'un point sur une droite

Bonsoir,
je bloque sur un exercice assez court.

énoncé: Déterminez les coordonnées de la projection orthogonale du point A(3,-1,2) sur la droite d'équation : (x/2)=y = -z

Merci pour l'aide

Bonjour,

L'énoncé est court mais la solution l'est moins...

Je suppose que le repère de l'espace considéré est orthonormé.

J'ignore ce que tu as commencé à faire.

Démarche pour ce travail :

a) Soit (P) le plan passant pas A et perpendiculaire à (D)
Détermine une équation cartésienne de (P)

b) Soit H le point d'intersection de (P) avec la droite (D) donnée dans l'énoncé.
En utilisant l'équation de (P) trouvée et les équations de (D), détermine les coordonnées de H

H est le point demandé.

Si tu as besoin d'une vérification, tiens nous au courant de tes calculs.

Bonjour voilà pour le schéma $fichier math$

Après je suis bloqué comment déterminer toutes ces équations ?

****Sur ton dessin,le projeté de A sur (D) s'appelle I
Le point I est donc le point que j'ai appelé H dans ma précédente réponse.
Par la suite, il s'appellera donc I pour respecter ton schéma

Si j'ai bien lu, tu n'as pour l'instant rien fait...

Piste pour le a) : équation cartésienne de (P) passant par A et perpendiculaire à (D)

Il y a différentes méthodes en fonction de ton cours.

Je t'en propose une.

Tu cherches les coordonnées (a,b,c) d'un vecteur directeur $u⃗\vec{u}$ de la droite (D)

Par théorème, une équation cartésienne de (P) s'écrira ax+by+cz+d=0

Tu trouveras d en utilisant le fait que le plan (P) passe par A

Consulte ton cours sur ce sujet, essaie de faire cette partie a) et tiens nous au courant.

Si j'ai un peu compris je dois obtenir à un moment : 3x-1y+2z=0

Après je ne comprends et vois par ce qu'il faut faire, de toute façon je n'ai jamais compris le géométrie c'est trop abstrait

Non...

Il se semble que tu aies pris pour a,b,c les coordonnées du point A.

Cela n'a pas de sens...

Tu dois chercher un vecteur directeur de (D) ( qui sera donc vecteur normal à (P) )
Pour cela, tu choisis deux points distincts de (D)

C'est commode d'utiliser une représentation paramétrique de (D) (t sera le paramètre réel)

$x2=y=−z=t\frac{x}{2}=y=-z=t$

$\left{x=2t\y=t\z=-t\right$

Pour t=0 , x=y=z=0 Point O(0,0,0)

Pour t=1 , x=2, y=1,z=-1 Point B(2,1,-1)

$u⃗=ob⃗\vec{u}=\vec{ob}$

Coordonnées de $(2−0,1−0,−1−0)=(2,1,−1)\vec{u}\ : \ (2-0, 1-0, -1-0)=(2,1,-1)$

Avec le théorème que je t'ai indiqué, une équation de (P) est :

2x+y-z+d=0

En utilisant le point A, tu trouveras d

Essaie de trouver d et de faire la suite.

donc il faut faire:
2*3 -1 -2 +d =0
=3+d=0
d=-3

Oui !

Une équation cartésienne de (P) est donc $2 x + y - z - 3 = 0$

Pour le b) et trouver les coordonnées de I projeté orthogonal de A sur (D), il te reste à résoudre le système

$\left{x=2t\y=t\z=-t\2x+y-z-3=0 \right$

2*2t + t - t = 0
4t=3
t=3/4

Non...

Revois le calcul de t

Ensuite, lorsque tu auras la bonne valeur de t, tu remplaces cette valeur dans les équations paramétriques de (D) ( les 3 premières équations du système) pour trouver x, y, z coordonnées du point I cherché

t= x/2
pour X, il faut prendre Xa=3?

Il faut trouver la valeur numérique de t

Je fais les calculs :

Tu substitues x, y, z par leurs expressions en fonction de t dans la 4ème équation

2(2t)+t-(-t)-3= <=> 4t+t+t-3=0 <=> 6t-3=0 <=> 6t=3 <=> t=3/6 <=>t=1/2

Ensuite, tu remplaces t par 1/2 dans le 3 premières équations :

x=2(1/2)=1
y=1/2
z=-1/2

Conclusion : les coordonnées de I , projeté orthogonal de A sur (D) , sont :

(1, 1/2, -1/2)

C'est tout...

Et donc l'exercice est fini?
Je ne m'attendais pas à ça.

Je vais reprendre cet exercice, je dois faire un exercice reprenant ces notions

Oui, vu que tu as les coordonnées de I : c'est fini.

Si tu veux compléter (pour le plaisir !) , tu peux faire unevérification du résultat.

Tu dois connaître une CNS pour que deux vecteurs soient orthogonaux :

$\text {\vec{u}(x,y,z) orthogonal \vec{v}(x',y',z') \leftrightarrow xx'+yy'+zz'=0$

Ici

$\text{\vec{u}( 2 , 1 , -1) vecteur directeur de (d)$

$\text{\vec{v}=\vec{ai} (1 , 1/2 , -1/2)-(3 , -1 , 2)=(-2 , 3/2 , -5/2)$

Fais le calcul

$(2) (- 2) + (1) (3 / 2) + (- 1) (- 5 / 2) = . . .$

Tu dois trouver 0

Donc :

$\text{(ai) \perp (d)$

I est bien le projeté de A sur (D)

C.Q.F.V.

Bon entraînement !

juste petite précision pour avoir , il faut faire le produit, parce que en le faisant j'obtiens 1/2

Citation
il faut faire le produit, parce que en le faisant j'obtiens 1/2

?

Je ne comprends absolument pas de quoi tu parles...

Merci de préciser.

mtschoon

$(2) (- 2) + (1) (3 / 2) + (- 1) (- 5 / 2) = . . .$

Tu dois trouver 0

[/i]

Recompte ton calcul si tu n'as pas trouvé 0

$(2) (- 2) + (1) (3 / 2) + (- 1) (- 5 / 2) = - 4 + 3 / 2 + 5 / 2 = - 4 + 8 / 2 = - 4 + 4 = 0$

effectivement là c'est bon

Merci beaucoup

De rien, mais je pense qu'il faut que tu revois tout ça (en évitant les erreurs de calcul).