3D Distance d'un point à une droite

Bonjour,
il faut: calculer la distance du point A(2,1,2) à la droite D ayant pour représentation paramétrique
x= 1+λ
y= 1-2λ
z=1+λ de paramètre λ choisi dans R

pour λ=0, j'obtiens: x=1; y=1; z=1 -> point A
pour λ=1 ; x=2; y=1; z=2 -> point B

soit 2x-y+2z+d=0

le début est bon?

merci

Re-bonjour,

Il y a visiblement encore des erreurs...

Oui pour A(1,1,1)

Pour B c'est (2,-1,2)

Vecteur directeur de (D): $u⃗=ab⃗\vec{u}=\vec{ab}$

coordonnées de ce vecteur (xB-xA,yB-yA,zB-zA)=(2-1,-1-1,2-1)=(1,-2,1)

Le plan (P) passant par A et perpendiculaire à (D) a pour équation

$x - 2 y + z + d = 0$

je trouve d=-2

et λ=-1/3

Oui pour d=-2

Erreur pour λ

Tu dois trouver λ=1/3

Pour le point I projeté de A sur (D), tu dois trouver (4/3 , 1/3 , 4/3)

La distance cherchée est la distance AI

$\text{ai=\sqrt{(x_i-x_a)^2+(y_i-y_a)^2+(z_i-z_a)^2}$

Tu dois trouver

$\text{ai=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt 3}=\frac{2\sqrt 3}{3}$

Remarque : pour être sûre de la réponse, j'ai fait le calcul de la distance d'une toute autre manière et je trouve la même réponse.

C'est bon je trouve bien 1/3 j'ai juste oublié de changer le signe de d quand j'ai résolu l'équation.
si j'ai bien compris, on pourrais faire un tableau de variation en mettant pour λ=1/3 on obtient un minimum en √4/3

Enfin je n'ai presque plus de question sauf sur un exercice fait en classe ( produit scalaire en 3D) où je ne comprends pas deux valeurs trouvées.

Merci beaucoup

Oui, si tu appelles f la fonction définie par f(λ)=AM, M étant un point quelconque de (D), le minimum AI de cette fonction est la distance cherchée.
Tu trouves ainsi que le minimum est pour λ=1/3 et que ce minimum est f(1/3)=√(4/3)

Si tu ne comprends pas ton exercice sur le produit scalaire, ouvre une autre discussion.
Je regarderai si besoin.

Merci beaucoup pour toutes ces explications

De rien .

Je viens de te faire les calculs relatives au produit scalaire dans un cube.

Tant que je suis sur cet exercice, je t'indique les calculs pour trouver, d'une autre façon, la distance d'un point à une droite.
Tu as dû la voir vu que tu parles de "tableau de variation"

Soit M(x,y,z) un point quelconque de (D)

$\text{am=\sqrt{x_m-x_a)^2+(y_m-y_a)^2+(z_m-z_a)^2}$

$\text{am=\sqrt{(1+\lambda-2)^2+(1-2\lambda-1)^2+(1+\lambda-2)^2}$

$\text{am=\sqrt{(\lambda-1)^2+(-2\lambda)^2+(\lambda-1)^2}$

Il faut développer les carrés et les ajoutersans faire d'erreurs...!

Tu trouves ainsi

$\text{am=\sqrt{6\lambda^2-4\lambda+2}$

AM est une fonction de λ

Tu peux poser

$\text{am=f(\lambda)=\sqrt{6\lambda^2-4\lambda+2}$

Les variations de f sont les mêmes que les variations de g définie par

$g(λ)=6λ2−4λ+2g(\lambda)=6\lambda^2-4\lambda+2$

Il s'agit d'un polynôme de second degré (de la forme aλ²+bλ+c)

Tu as vu cela l'an passé il me semble.

Le minimum est pour $λ=−b2a=−−412=13\lambda=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{12}=\frac{1}{3}$

Après calculs :

$\text{ai=f(\frac{1}{3})=\sqrt{\frac{4}{3}}$

Remarque : cette méthode est très bonne mais elle esttotalement "calculatoire"
Je ne sais pas si elle te convient vraiment...
A toi de voir.