Algèbre linéaire Vecteurs et sous espaces propres



  • Bonjour,
    je recherche dans l'espace vectoriel R2, les valeurs propres et les vecteurs propres de :
    f:(x,y)-> (x+y,x-y)

    Je fais tous les calculs je trouve λ = √2 et -√2 quand detA=0

    Que faut il faire après, c'est extrêmement résumé mais j'ai fait 2 pages de calculs et de développement sur feuille donc assez long à tout taper



  • Bonjour

    oui pour λ=√2 et λ=-√2

    Je t'indique les principes de calcul pour les vecteurs propres relatifs à λ=√2 (la marche à suivre doit être dans ton cours)

    Trop long de taper tous les calculs.

    Soit A la matrice de f

    a=(1  1\1 1)a=\left(1\ \ 1\1\ -1\right)

    i=(1  0\0  1)i=\left(1\ \ 0\0\ \ 1\right)

    Les vecteurs propres (x\y)\left(x\y\right) sont les solutions du système

    $\text{(a-\sqrt 2i) \times^\ \left(x\y\right) = \left(0\0\right)$

    Après calculs, sauf erreur, tu dois obtenir le système

    $\left{(1-\sqrt 2)x+y=0\x+(-1-\sqrt 2)y=0\right$

    Ce système est indéterminé

    Par substitution, tu peux exprimer les vecteurs propres en fonction de x (x réel quelconque)
    Tu dois trouver
    (x\(21)x)\left(x\(\sqrt 2-1)x\right)

    Tu peux aussi bien les exprimer en fonction de y (y réel quelconque)
    Tu dois trouver
    (y(sqrt2+1)\y)\left(y(sqrt 2+1)\y\right)

    Tu appliques le même principe pour trouver les vecteurs propres relatifs à λ=-√2



  • C'est plus clair merci bien



  • De rien.

    *Tu peux conclure que le sous-espace vectoriel propre associé à λ=√2 est l'ensemble ds vecteurs propres trouvés (droite vectorielle) *

    Bon travail.


 

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