Algèbre linéaire Vecteurs et sous espaces propres

Bonjour,
je recherche dans l'espace vectoriel R2, les valeurs propres et les vecteurs propres de :
f:(x,y)-> (x+y,x-y)

Je fais tous les calculs je trouve λ = √2 et -√2 quand detA=0

Que faut il faire après, c'est extrêmement résumé mais j'ai fait 2 pages de calculs et de développement sur feuille donc assez long à tout taper

Bonjour

oui pour λ=√2 et λ=-√2

Je t'indique les principes de calcul pour les vecteurs propres relatifs à λ=√2 (la marche à suivre doit être dans ton cours)

Trop long de taper tous les calculs.

Soit A la matrice de f

$a=\left(1\ \ 1\1\ -1\right)$

$i=\left(1\ \ 0\0\ \ 1\right)$

Les vecteurs propres $\left(x\y\right)$ sont les solutions du système

$\text{(a-\sqrt 2i) \times^\ \left(x\y\right) = \left(0\0\right)$

Après calculs, sauf erreur, tu dois obtenir le système

$\left{(1-\sqrt 2)x+y=0\x+(-1-\sqrt 2)y=0\right$

Ce système est indéterminé

Par substitution, tu peux exprimer les vecteurs propres en fonction de x (x réel quelconque)
Tu dois trouver
$\left(x\(\sqrt 2-1)x\right)$

Tu peux aussi bien les exprimer en fonction de y (y réel quelconque)
Tu dois trouver
$\left(y(sqrt 2+1)\y\right)$

Tu appliques le même principe pour trouver les vecteurs propres relatifs à λ=-√2

C'est plus clair merci bien

De rien.

*Tu peux conclure que le sous-espace vectoriel propre associé à λ=√2 est l'ensemble ds vecteurs propres trouvés (droite vectorielle) *

Bon travail.