Calcul Intégral Interpolation de Lagrange

[David74]

Bonsoir,dans l'exo ci-dessous je voulais savoir si j'utilise correctement la formule du polynôme de Lagrange et je voudrais qu'on m'éclaire sur certains point que j'ai pas compris.

On considère les points x0=-1,x1=0,x2=1

1)Soit f une fonction dont on connait les valeurs aux trois points x0,x1 et x2.
a)Ecrire le polynôme Pn(x) ,polynôme d'interpolation de Lagrange de f au points (xi,i=0,1,2).
b) Calculer les polynômes L0(x),L1(x) et L2(x)
c)En déduire la valeur de n= d°Pn.

Mes réponses sont les suivantes:

Comme nous avons trois points,le n=2.

Puis nous savons que $pn(x)=\sum <em>{i=0}^{n}l</em>i(x)f(x_i)$

Et $l_i(x)=\prod <em>{j=0,j\ne i}^n\frac{x-x</em>j}{x_i-x_j}=\frac{x-x_0}{x_i-x_0}\cdots \frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}\cdots \frac{x-x_n}{x_i-x_n}.$

Donc $l0(x)={\displaystyle l_{i}(x)=\prod {j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x{0}}{x_{i}-x_{0}}}=$

${\displaystyle l_{i}(x)=\prod {j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-(-1)}{x{i}-(-1)}}$

après je sais pas par quoi il faut remplacer xi dans L0(x) (il y a x0 avant x1,mais rien avant x0...).

Ensuite on sait que ${\displaystyle l_{1}(x)=\prod {j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x{1}}{x_{0}-x_{1}} \$

${\displaystyle l_{1}(x)=\prod {j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-0}{-1-0}}={\displaystyle l{1}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x}{-1}}$

Puis ${\displaystyle l_{2}(x)=\prod {j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x{2}}{x_{1}-x_{2}}}$

$={\displaystyle l_{2}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-1}{0-1}}=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-1}{-1}}$

Enfin $pn(x)=\sum <em>{i=0}^{n}l</em>0(x)f(x_0)$,$pn(x)=\sum <em>{i=0}^{n}l</em>1(x)f(x_1)$ et $pn(x)=\sum <em>{i=0}^{n}l</em>2(x)f(x_2)$ .
Cependant je ne sais pas comment trouver les $f(x_i).$,ça me bloque aussi.

Sinon on m'a dit ceci :

A 2 points du plan correspondent une droite ,à trois points un polynôme du second degré.

Ecrivons: $p_2(x)=a_2(x-x_0)(x-x_1)+a_1(x-x_0)(x-x_2)+a_0(x-x_1)(x-x_2) \$

Ici:$p_2(x)=a_{2}x(x+1)+a_1(x+1)(x-1)+a_{0}x(x-1)$

$p_2(0)=-a_1,p_2(1)=2a_2,p_{-1}=2a_0...$

Je tenterai de finir mes calcul et je vous les montrerai même si je suis pas un as en maths!
Que je comprends,mais c'est une autre formule de Lagrange on dirait,c'est pas "la mienne".
Toute aide sera la bienvenue

[mtschoon]

Bonjour,

Cette question est théorique et la formulation t'a peut-être perturbé.

f est une fonction dont tu n'as pas l'expression.
Tu fais donc les réponsesen fonction de f(-1), f(0) et f(1)

De plus, tu as 3 points donc le polynôme de Lagrange que tu cherches est de degré 2 maximum donc le polynôme est de la forme P(X)=aX²+bX+c (avec a nul ou non nul)

Piste,

1)a) Tu dois seulement écrire le polynôme P(X)
(J'appelle P ce polynôme, mais appelle le $P_n$ si tu préfères)

$\text{p(x)=f(-1)l_0(x)+f(0)l_1(x)+f(1)l_2(x)$

1)b) Tu calcules $L_0$(X), $L_1$(X) et $L_2$(X) avec la formule de ton cours.

Sauf erreur

$\text{l_0(x)=\frac{x(x-1)}{2}$

$\text{l_1(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{-1}$

$\text{l_2(x)=\frac{x(x+1)}{2}$

1)c) Donc

$\text{p(x)=f(-1)\frac{x(x-1)}{2}-f(0)(x-1)(x+1)+f(1)\frac{x(x+1)}{2}$

Tu développes ce polynôme et tu l'ordonnes suivant les puissances décroissantes de X

Sauf erreur,

$\text{p(x)=\frac{f(-1)-2f(0)+f(1)}{2}x^2+\frac{f(1)-f(-1)}{2}x+f(0)$

Tu discutes suivant la nullité et la non-nullité des coefficients.

Si f(-1)-2f(0)+f(1) ≠ 0 (c'est à dire si le point d'abscisse 0 de la courbe n'est pas le milieu des deux autres), le polynôme est de degré 2 (donc se note $P_2$(X)), sinon...(tu continues)

[David74]

Merci beaucoup pour ton aide,c'est beaucoup plus clair maintenant!
J'aime déja ce site!

[mtschoon]

Très contente de t'avoir aidé.

Bon DM !