Calcul intégral Intégration numérique

Bonsoir à vous tous,j'ai tenté de répondre aux questions 1 et 2 de l'exo ci-dessous
mais j'aurai voulu qu'on m'aide pour les trois premières questions si possible.

Merci d'avance

Voici cet exo:
Soit la fonction $\frac{1}{1+x^2}$

1)Calculer $i=∫−11f(x)dx.i=\int_{-1} ^ 1 f (x) dx .$ (indication (tan(x))'=1+tan²(x))
2)Construire la formule suivante:

$i=∫−11f(x)dx≈j1(x)=a.f(−1/2)+b.f(0)+c.f(1/2).i=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx j_1(x) =a.f(-1/2)+b.f(0)+c.f(1/2).$

Relation d'ordre 2 de précision.
Montrer que sa précision va jusqu'à l'ordre 3.

3)Construire la formule suivante :

$i=∫−11f(x)dx≈j2(x)=d.f(−1)+e.f(0)+f.f(1).i=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx j_2(x) =d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1).$

Relation d'ordre 3 de précision.
4)Construire la formule:
$i=∫−11f(x)dx≈j3(x)=g.f(−35)+h.f(−15)+i.f(15).+j.f(35)i=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx j_3(x) =g.f(\frac{-3}{5})+h.f(\frac{-1}{5})+i.f(\frac{1}{5}).+j.f(\frac{3}{5})$

Relation d'ordre 3 de précision.

5)Utiliser J1,J2,J3 pour calculer 3 valeurs approchées de I.

6)Sans calculer aucune formules d'erreurs,quel doit être la valeur la plus précises?

J'ai essayé de répondre grâce à un exo similaire vu en cours,voici donc mes réponses:

1)Pour cette question,l'intégrale c'est $tan^{-1} (x)$ donc
$i=tan−1(1)−tan−1(−1)=π2i=tan^{-1} (1)-tan^{-1} (-1)=\frac{\pi}{2}$ .

Après pour la question 2) j'ai dis que comme la précision va à l'ordre 3,alors
on peut dire que les polynôme d'ordre 3 on pour forme canonique {1,x,x^2,x^3}.

Puis on pose au début f(x)=1 ce qui implique que $∫−11dx\int_{-1}^ 1 dx$ =2
d'ou $a . f (- 1 / 2) . 1 + b . f (0) . 1 + c . f (1 / 2) . 1 = 2 .$ .

Ce qui implique que
$a.tan^{-1} (1/2)+b.tan^{-1} (0)+c.tan^{-1} (1/2)=2$ .

Mais ça n'a pas de sens, car 0 n'est pas égal à 2.

Ensuite on dois faire pareil avec f(x)=x ,f(x)=x²,et f(x)=x^3 je pense.

Bonjour,

Oui pour

$i=\bigint_{-1}^1 \frac{1}{1+x^2}dx=/[tan^{-1}(x)]_{-1}^1=\frac{\pi}{2}$

Il y a de nombreuses façons d'approcher une intégrale .
J'ignore totalement la méthode que tu utilises...il faudrait plus de précisions .

Par contre, à la fin de ton essai, ce que tu écris me laisse perplexe.

Je me demande si tu n'as pas confondu la fonction f définie par $f(x)=11+x2f(x)=\frac{1}{1+x^2}$
avec une de ses primitives qui est définie par $tan^{-1}(x)$

Ah si c'est la fonction que j'aurai du prendre et non la primitive!
Bin on dirai que c'est la méthode de la quadrature de Gauss,mais dans ma classe on comprend pas trop le cours du prof...

En gros je pense qu'on demande les coefficients tels que la relation soit vraie en remplaçant f par tout polynôme de degré inférieur ou égal à 2 ce qui justifierait l'apparition de l'expression 'ordre 2'.

Dans ce cas il suffit d'écrire l'égalité avec f=1, f=x et f=x^2.
Je vais tous refaire au moins jusqu'à la question 3.

Je refais tous ça puis je post ça demain.

Maintenant que tu as vu ton erreur, j'espère que tu pourras continuer sans problème.

Par contre, je ne connais pas la méthode dont tu parles.

J'espère que quelqu'un qui la connait pourra t'en dire plus.

Oui j'ai pu faire jusqu'au 4) même si le mot "construire" je ne voit pas ce qu'il fait là.

Mais pour le 3) on obtient donc:
3)Construire la formule suivante :

On a f(x)=x maintenant donc

$i=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx j_2(x) =d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1)=d.(1/2)+e.1+f.(1/2). \ =\int_{-1}^1 f (x) dx=\int x dx=1/2-1/2=0=d.f(-1)+e.f(0)+f.f(1)=d.(1/2)+e.1+f.(1/2). \$
Puis pour le 4) On obtient avec f(x)=x²:

$i=∫−11f(x)dx≈j3(x)=g.f(−35)+h.f(−15)+i.f(15).+j.f(35)=i=\int_{-1}^ 1 f (x) dx \approx j_3(x) =g.f(\frac{-3}{5})+h.f(\frac{-1}{5})+i.f(\frac{1}{5}).+j.f(\frac{3}{5})=$
$∫x2dx=2/3\int x^2 dx=2/3$ .

Après pour trouver les coefficient a,b,c et j,g,h,i c'est une autre histoire.
On voit juste que d,e,f sont forcément nuls.
5) je ne sais pas,et pour le 6) c'est le J3 le plus précis,il y a plus de coefficient.

Merci pour votre aide,j'espère aussi que quelqu'un connait cette méthode.

Si j'avais ton cours, ce serai plus simple...

J'essaie de dépouiller avec tes indications...

Avant d'aller plus loin, j'aimerais bien savoir ce que tu as fait pour la 2) par exemple, car je suis pas sûre que tu aies compris qu'il y a plusieurs conditions simultanées .

Je te dis ce que je comprends pour la 2) avec ce que tu indiques

$af(-1/2)+bf(0)+cf(1/2)=j_1(x)$

Pour
f(x)=1

$\bigint_{-1}^11dx=2$

Tu obtiens ainsi : $a+b+c=2\fbox{a+b+c=2}$

Pour
f(x)=x

$\bigint_{-1}^1xdx=0$

Tu obtiens ainsi : $a (- 1 / 2) + b (0) + c (1 / 2) = 0$

Cela équivaut à $-a+c=0\fbox{ -a+c=0}$

Pour
f(x)=x²

$\bigint_{-1}^1x^2dx=\frac{2}{3}$

Tu obtiens ainsi $a (1 / 4) + b (0) + c (1 / 4) = 2 / 3$

Cela équivaut à $a+c=8/3\fbox{a+c=8/3}$

Pour trouver a,b,c, tu dois donc résoudre le système composé des 3 formules encadrées

Sauf erreur $a = 4 / 3, b = - 2 / 3, c = 4 / 3$

Tu peux déduire $J_1$ (x)

Qu'en penses-tu ?

Oui désolé j'aurai dû t'envoyé le cours,même si c'est long à taper.
Ce que tu as écris me rappel ce qu'on a fais,on avait résolu un système de trois équations aussi.
Vu qu'il est tard,je réfléchis sur l'exo ce soir et je t'envoi tout demain,y compris le cours,je dois l'avoir normalement.

Oui, consulte ton cours mais ne perd pas ton temps à la taper.

Approfondis le et vérifie si le procédé indiqué à la question 2 pour $J_1$ est bien celui qui faut.
Si c'est le cas, il suffira de procéder de la même façon pour $J_2$ et $J_3$ et tirer les conclusions.

Une remarque : les notations de ton énoncé me laissent perplexes .

Tu parles de $J_1$ (x), $J_2$ (x), $J_3$ (x)

$J_1$ , $J_2$ , $J_3$ ne sont pas des fonctions de x.
Pourquoi mettre x ?...

$J_1$ , $J_2$ , $J_3$ sont des valeurs numériques approchées de I, c'est à dire de ∏/2

Un complément pour $J_1$ .

Vu que sa valeur est demandée à la question 5), je te la calcule ici.

$j_1=4/3(\frac{1}{1+\frac{4}{5}})-2/3(\frac{1}{1+0})+4/3(\frac{1}{1+\frac{4}{5}}) \$

Sauf erreur, $j1=2215=1.4666...j_1=\frac{22}{15}=1.4666...$

$i=π2=1,5708...i=\frac{\pi}{2}=1,5708...$

Cela me parait tout à fait cohérent.

Oui pour J1 c'est bien ça,quand on a trois coefficient af(..)+bf(...)+cf(...)=I par exemple on pose f(x)=1,f(x)=x,f(x)=x^2.
On résoud le système ensuite.

Le 3) c'est pareil.
Le 4) il faut aller jusqu'à f(x)=x^3 je pense.

J1(x),je ne sais pas pourquoi il met un x,c'est étrange...
Les élèves ne comprennent pas trop son cours.
Ton J1(x) est bon,sauf que comme il faut aller à l'ordre 3,on doit écrire f(x)=x^3 aussi.
ce qui donne $a(1/8)+b(0)+c(1/8)=1/2 \$.

On a donc le système ${a+b+c=2; -a+c=0; (a/4) +(c/4)=2/3 ; a(1/8)+b(0)+c(1/8)=1/2$

Pour le J3(x) en partant de f(x)=1.f(x)=... jusqu'à f(x)=x^3 on obtient:
$\ g+h+i+j=2 \ \ g(-3/5)+h(-1/5)+i(1/5)+j(3/5)=0 \ \ g(9/25)+h(1/25)+j(9/25)+i(1/25)=2/3 \ \ g(27/125)+h(1/125)+j(27/125)+i(1/125)=1/2 \$

C'est donc la bonne méthode !

Pour $J_1$ , tu dois faire avecf(x)=1,x,x² vu que l'on te demande une relation d'ordre 2 de précision
(c'est ce que je t'ai indiqué)

Ensuite, il faut montrer que cette précision va jusqu'à l'ordre 3

Pour cela, tu fais avec $f(x)=x^3$ **et tu constates que la relation trouvée est satisfaite car :
$4 / 3 (- 1 / 8) - 2 / 3 (0) + 4 / 3 (1 / 8) = 0$
(tu as fait une erreur de signe dans ta proposition)

Et enfin, pour prouver que la relation ne dépasse pas l'ordre 3, il faut faire avec** $f(x)=x^4$ ** et constater que la relation n'est pas satisfaite.

Pour $J_2$ , tu peux faire avecf(x)=1,x,x² ce qui te permet de trouver d,e,f puis la relation.
Comme l'énoncé te demande à l'ordre 3, tu vérifies que la relation convient avec $f(x)=x^3$

Pour $J_3$ , tu dois faire pour f(x)=1,x, $x^2$ , $x^3$
(système de 4 équations à 4 inconnues à résoudre)

Je crois que maintenant, tu as tout ce qu'il te faut .
Il te reste à faire les calculs.

Bons calculs.

Bonsoir,voici ce que j'ai trouvé:

Pour le 3)
pour f(x)=1;x;x^2;x^3 on a respectivement:

d+e+f=2.
-d+0.e+f=0=>d=f
d+f=2/3=>d=f=1/3
-d+f=0

Puis pour le 4) j'ai trouvé ça,mais le 5 et le 6 je sais pas.

Le 4) c'est:

Premier système
On demande une précision d'ordre 2 donc on a 3 équations soit le système :
$\left{\begin{array}{rcl}a+b+c&=&2\-\frac{1}{2} a +\frac{1}{2} c=&0\\frac{1}{4} a +\frac{1}{4} c &=&\frac{2}{3}\end{array}\right. \$

Ce qui donne$\left{\begin{array}{rcl} a&=&c\\frac{1}{2} a &=&\frac{2}{3}\2a+b&=&2\end{array}\right.$ soit $a=c=43a=c=\frac{4}{3}$ ; $b=2−83=−23b=2-\frac{8}{3}=-\frac{2}{3}$

Si on veut aller jusqu'à l'ordre 3, on doit avoir : $−18a+0+18c=0-\frac{1}{8} a +0 +\frac{1}{8} c =0$ , ce qui est bien vérifié puisque $a = c$ donc la précision va jusqu'à l'ordre 3.
, on doit avoir : $−18a+0+18c=0-\frac{1}{8} a +0 +\frac{1}{8} c =0$ , ce qui est bien vérifié puisque $a = c$ donc la précision va jusqu'à l'ordre 3.

Deuxième système

$\left{\begin{array}{rcl}g+h+i+j&=&2\-\frac{3}{5} g -\frac{1}{5}h+\frac{1}{5} i +\frac{3}{5} j&=&0\ \frac{9}{25} g +\frac{1}{25} h +\frac{1}{25} i +\frac{9}{25} j &=&\frac{2}{3}\ -\frac{27}{125} g -\frac{1}{125} h +\frac{1}{125} i +\frac{27}{125} j &=&0\end{array}\right. \$
En simplifiant un peu : $\left{\begin{array}{rcl}g+h+i+j&=&2\-3g-h+i+3j&=&0\27g+3h+3i+27j&=&50\-27g-h+i+27j&=&0\end{array}\right.$

Equation 4 - équation 2 et équation 3 -3 fois équation 1 conduit au système :

$\left{\begin{array}{rcl}-24 g+24 j&=&0\24 g +24j&=&44\end{array}\right$. ce qui donne $g=j=4448=1112g=j=\frac{44}{48}=\frac{11}{12}$

On a alors

$\left{\begin{array}{rcl} h+i&=&\frac{1}{6}\-h+i&=&0\end{array}\right.$ donc

$h=i=112h=i=\frac{1}{12}$

Tes réponses sont bonnes (il y a quelques mélanges dans les questions...)

Quelques remarques :

A la question 2), comme je te l'ai déjà indiqué, quand on te dit que la précision va jusqu'à l'ordre 3, il faudrait prouver, en plus de ce que tu as fait, qu'à l'ordre 4 c'est faux.

A la question 3), e=4/3 (tu as dû le trouver mais ce n'est pas écrit ici)

Oui pour la 4)

Pour la questions 5), je t'ai déjà calculé $J_1$ précédemment.

Rappel:

$j1=4/3(11+45)−2/3(11+0)+4/3(11+45)j_1=4/3(\frac{1}{1+\frac{4}{5}})-2/3(\frac{1}{1+0})+4/3(\frac{1}{1+\frac{4}{5}})$

Sauf erreur, $j1=2215=1.4666...j_1=\frac{22}{15}=1.4666...$

Tu calcules $J_2$ et $J_3$ avec la même méthode

Pour la question 6), tu compares les valeurs trouvées à la question 5) à la valeur exacte I et tu indiques celle qui est la plus proche.

$i=π2=1,5708...i=\frac{\pi}{2}=1,5708...$

| $I-J_1$ |≈0.10413

Tu calcules | $I-J_2$ | , | $I-J_3$ | et tu tires la conclusion demandée.

Ah ok,merci beaucoup pour votre patience,je n'aurai plus d'autres questions sur cet exo.
J'étais assez en retard en maths en fait.

De rien !

Je pense que maintenant tu maîtrises bien ce devoir.

Bon travail !

Merci,mais l'énoncé de l'exo n'était vraiment pas top quoi,par exemple ils auraient dû dire " montrer que sa précision ne va que jusqu'à l'ordre 3".

Le "que" a beaucoup d'importance.

Tout à fait...

Et je ne sais toujours pas ce que traduit ce x dans $J_1$ (x), $J_2$ (x), ...Ce ne doit pas être la signification usuelle, vu que $J_1$ , $J_2$ ,...ne sont pas des fonctions de x.

Enfin, globalement, on s'y retrouve !