Calcul intégral-Intégrale impropre
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Aalmas dernière édition par
Bonjour,
Voici la question..
Etudier la convergence de∫0∞1−cos(x)x2dx\int_{0}^{\infty }{\frac{1-cos(x)}{x^2} dx}∫0∞x21−cos(x)dx
Merci beaucoup
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Piste possible,
Je te conseille de commencer par transformer la fonction à intégrer par une autre plus "classique" en faisant une intégration par parties.
Soit $i=\bigint_\epsilon^a \frac{1-cosx}{x^2}dx$
(Par la suite, ε tendra vers 0+0^+0+ et A tendra vers +∞)
u=1−cosx , v′=1x2 , u′=sinx , v=−1xu=1-cosx\ ,\ v'=\frac{1}{x^2}\ ,\ u'=sinx\ ,\ v=-\frac{1}{x}u=1−cosx , v′=x21 , u′=sinx , v=−x1
Sauf erreur, tu dois trouver :
$\fbox{\bigint_\epsilon^a \frac{1-cosx}{x^2}dx=[\frac{cosx-1}{x}]\epsilon^a+\bigint\epsilon^a \frac{sinx}{x}dx}$
Tu étudies la convergence des deux termes du membre de droite
Quand ε tend vers 0+0^+0+ et A tend vers +∞, [cosx−1x]ϵa[\frac{cosx-1}{x}]_\epsilon^a[xcosx−1]ϵa tend vers 0
$\bigint_0^{+\infty} \frac{sinx}{x}dx$ est la suite de Dirichlet convergente (vers ∏/2).
Pour cette suite, tu as une explication ici (exercice 1-clique sur correction)Tu peux en déduire que le membre de gauche de l'égalité indiquée converge, d'où la réponse.
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Aalmas dernière édition par
Merci beaucoup!
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mtschoon dernière édition par
De rien !
Bon travail.