Suites et Séries



  • Bonjour,
    J'ai à calculer n1[sin(1/n(n+1))]/[cos(1n)cos(1n+1)]\sum_{n\geq1 }{[sin(1/n(n+1))]/[{cos(\frac{1}{n})cos(\frac{1}{n+1}) }}]
    Je décompose le terme dans le sinus sin(1/n(n+1))=sin(1n1n+1)sin(1/n(n+1))=sin(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}),j'utilise l'identité sin(A-B) dans le terme général Un,alors j'obtiens à la fin après simplification Un=tan(1/n)-tan(1/(n+1))
    Après utilisation de la somme télescopique un=vn+1vnu_n=v_{n+1}-v_n,est-ce normal que la somme est égal à -tan(1/2)?
    Merci d'avance


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Tout à fait d'accord pour tes transformations qui amènent à

    \bigsumn1(tan1ntan1n+1)\bigsum_{n \ge 1}( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})

    Il doit y avoir un problème avec la somme télescopique.

    Tu aurais dû poser un=vnvn+1u_n=v_n-v_{n+1} avec , pour tout n ≥ 1, vn=tan1nv_n=tan\frac{1}{n}

    \bigsumn=1n=n(tan1ntan1n+1)=v1vn+1=tan1tan1n+1\bigsum_{n =1}^{n=n} ( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})=v_1-v_{n+1}=tan1-tan\frac{1}{n+1}

    Lorsque N tend vers +∞, tan1n+1tan\frac{1}{n+1} tend vers 0, d'où

    \bigsumn1(tan1ntan1n+1)=tan1\bigsum_{n \ge 1}( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})=tan1



  • Merci beaucoup!Peut-on donc toujours intervertir V_n et V_n+1 dans la différence?


  • Modérateurs

    Tout dépend des expressions précédemment trouvées.
    Il faut adapter les notations au contexte.

    Ici, en posant, pour tout n, vn=tan1nv_n=tan\frac{1}{n}

    Forcément vn+1=tan1n+1v_{n+1}=tan\frac{1}{n+1}

    Donc :

    tan1ntan1n+1=vnvn+1tan\frac{1}{n}-tan \frac{1}{n+1}=v_n-v_{n+1}


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