Suites et Séries

[almas]

Bonjour,
J'ai à calculer ${\sum }_{n\ge 1}[sin(1/n(n+1))]/[cos(\frac{1}{n})cos(\frac{1}{n+1})]$
Je décompose le terme dans le sinus $sin(1/n(n+1))=sin(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$,j'utilise l'identité sin(A-B) dans le terme général Un,alors j'obtiens à la fin après simplification Un=tan(1/n)-tan(1/(n+1))
Après utilisation de la somme télescopique $u_n=v_{n+1}-v_n$,est-ce normal que la somme est égal à -tan(1/2)?
Merci d'avance

[mtschoon]

Bonjour,

Tout à fait d'accord pour tes transformations qui amènent à

$\bigsum_{n \ge 1}( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})$

Il doit y avoir un problème avec la somme télescopique.

Tu aurais dû poser $u_n=v_n-v_{n+1}$ avec , pour tout n ≥ 1, $v_n=tan\frac{1}{n}$

$\bigsum_{n =1}^{n=n} ( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})=v_1-v_{n+1}=tan1-tan\frac{1}{n+1}$

Lorsque N tend vers +∞, $tan\frac{1}{n+1}$ tend vers 0, d'où

$\bigsum_{n \ge 1}( tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1})=tan1$

[almas]

Merci beaucoup!Peut-on donc toujours intervertir V_n et V_n+1 dans la différence?

[mtschoon]

Tout dépend des expressions précédemment trouvées.
Il faut adapter les notations au contexte.

Ici, en posant, pour tout n, $v_n=tan\frac{1}{n}$

Forcément $v_{n+1}=tan\frac{1}{n+1}$

Donc :

$tan\frac{1}{n}-tan\frac{1}{n+1}=v_n-v_{n+1}$