séries et équivalence, comparaison



  • Bonjour à tous, je suis en prépa ece et je suis nulle en maths.
    je passe en 2 eme année et j'essaye de prendre un peu d'avance mais je bloque sur le chapitre "compliments sur les séries" qui correspond au théorème de comparaison, d'équivalence et de négligeabilité, convergence absolue.

    j'ai trouvé un exercice, j'ai la solution aussi mais je ne la comprends pas.( je poste seulement le 1 er calcul ou je peux poster les 3 autres aussi ?)

    voici le 1 er calcul:
    Etudier la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants ( en cas de convergence, on n'en demande pas la somme)

    n2+1(2n+1)3\frac{n^2+1}{(2n+1)^3}

    mais comment faire?
    je pensais décomposer en faisant 1/ (2n+1)^3
    je pensais que c'était une série de riemann mais dans la correction il ne font pas comme ça et passe par les équivalents.

    merci à vous d'avoir pris le temps de lire le message


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Cette série n'est pas une série de Riemann mais elle est équivalente à une série de Riemann

    En prenant les termes de plus fort degré, en +∞

    \fran2(2n+1)3n2(2n)3n28n318n(18)(1n)\fra{n^2}{(2n+1)^3} \sim \frac{n^2}{(2n)^3} \sim \frac{n^2}{8n^3}\sim \frac{1}{8n}\sim (\frac{1}{8})(\frac{1}{n})

    La série de terme général 1/n est une série de Riemann divergente, dont la série de terme général (1/8)(1/n) aussi donc la série proposée aussi.



  • Bonjour, merci de ta réponse.
    Le problème c'est que quand je dois étudier la nature d'une série, je en sais vraiment pas qu'elle méthode il faut utiliser
    comparaison, négligeabilité, équivalence ... Comment savoir?

    un autre exemple:

    (lnn)2n3\frac{(ln n)^2}{n^3}

    quelle méthode ? et décomposition?

    ps: je rappelle que j'ai la solution de l'exercice mais ça ne me parait pas "evident"


  • Modérateurs

    Il n'y a pas de miracle...Seule la pratique te permet de trouver assez facilement une méthode à utiliser.
    D'ailleurs, il n'y a pas nécessairement UNE méthode, plusieurs peuvent parfois convenir.

    SI tu as des énoncés avec solutions, je te suggère de chercher TA solution sans regarder la réponse proposée.
    Ensuite, compare la réponse proposée avec la tienne.

    Pour l'énoncé donné, je t'indique l'idée que j'ai eu (après quelques essais), mais la réponse donnée est peut-être obtenue d'une autre façon.

    Pour n ≥ 1

    ln(n)<nln(n) \lt \sqrt n

    Par élévation au carré (entre nombres positifs)

    (ln(n))2<n(ln(n))^2 \lt n

    (ln(n))2n3<nn3\frac{(ln(n))^2}{n^3}\lt \frac{n}{n^3}

    Après simplification:

    (ln(n))2n3<1n2\frac{(ln(n))^2}{n^3}\lt \frac{1}{n^2}

    La série de terme général 1/n² est une série de Riemann convergente donc, par comparaison, la série proposée est convergente.



  • ok je vais m'entrainer!!
    merci beaucoup


  • Modérateurs

    De rien et bon travail ! 😄


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