Calcul de somme (1) (séries)
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AAnabelle2110 dernière édition par
Bonsoir ,
Je viens tout juste de débuter le chapitre des calculs algébriques et je m'entraîne donc à faire quelques exercices de bases pour m'habituer un peu ...
Soit n dans N . Calculer ∑k=1n(−1)k(2k+1)\sum_{k=1}^{n}{(-1)^k(2k+1)}∑k=1n(−1)k(2k+1)
Pour ce calcul je ne sais pas vraiment comment commencer
donc si vous pouvez m'apporter votre aide svp
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Une idée possible,
s=∑k=1n(−1)k(2k+1)s=\sum_{k=1}^{n}{(-1)^k(2k+1)}s=∑k=1n(−1)k(2k+1)
Explicite S pour réaliser de quoi il s'agit
s=−3+5−7+9−11+...−...s=-3+5-7+9-11+...-...s=−3+5−7+9−11+...−...
Fais deux regroupements
s=(−3−7−11−...)+(5+9+13+...)=−(3+7+11+...)+(5+9+13+...)s=(-3-7-11-...)+(5+9+13+...)=-(3+7+11+...)+(5+9+13+...)s=(−3−7−11−...)+(5+9+13+...)=−(3+7+11+...)+(5+9+13+...)
Tu fais ainsi apparaître les sommes de termes de deux suites arithmétiques de raison 4
Pour calculer ces 2 sommes, tu dois trouver, pour chacune, le dernier terme et le nombre de termes.
Pour faire ce travail, tu dois faire deux cas : n pair et n impair.
Pour que tu puisses vérifier tes calculs, je t'indique ce que tu dois trouver.
Sauf erreur,
$\text{ \ pour n pair \ s=n \ pour n impair\ s=-n-2$
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AAnabelle2110 dernière édition par
merci beaucoup
pour trouver le dernier terme je dois remplacer k par n dans l'expression donnée c'est ça ?
et ensuite j'applique la formule de la somme d'une suite arithmétique ?
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mtschoon dernière édition par
Prends le temps de la réflexion, car tu as deux sommes à calculer.
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AAnabelle2110 dernière édition par
Pour la première somme
n est impair
Donc le premier terme vaut -3 et le dernier terme (-1)*(2n+1) soit -2n-1
Il y a n termes
Donc S1= n(-3-2n-1)/2= (-4n-2n^2)/2= -2n-n^2
Je fais de meme avec l'autre somme
Le premier terme Est 5 et le dernier terme vaut 2n+1
Donc S2= n(5+2n+1)/2 = (5n+2n^2+n)/2=(6n+2n^2)/2=3n+n^2
J assemble les deux sommes et cela me donne
S=-2n-n^2+3n+n^2= n
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mtschoon dernière édition par
Il y a des erreurs dans les nombres de termes ; vu que la somme S a n termes, chacune des sommes S1 et S2 ne peut pas en avoir n car cela ferait 2n à la somme totale S
De plus, je crois voir des confusions dans les sommes.
Pour n impair
s=−3+5−7+...+(2n−1)−(2n+1)=[−3−7−...−(2n+1)]+[5+9+...+(2n−1)]s=-3+5-7+...+(2n-1)-(2n+1)=[-3-7-...-(2n+1)]+[5+9+...+(2n-1)]s=−3+5−7+...+(2n−1)−(2n+1)=[−3−7−...−(2n+1)]+[5+9+...+(2n−1)]
Il y a un terme de plus pour la somme des négatifs que pour la somme des positifs
Le nombre de termes positifs est n2−12\frac{n}{2}-\frac{1}{2}2n−21
Le nombre de termes négatifs est n2+12\frac{n}{2}+\frac{1}{2}2n+21
Reprends tes calculs et tu trouveras $s=-n-2 \$
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AAnabelle2110 dernière édition par
Pourquoi il y a un terme de plus pour la somme des négatifs ?
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mtschoon dernière édition par
Regarde l'alternance des signes .
Lorsque n est impair, la somme commence par un - et finie par un -
Compte le nombre de signes - et le nombre de signes +$\text{- + - + - + - + -$
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AAnabelle2110 dernière édition par
Ok merci mais depuis un moment j'essaye de comprendre comment vous avez trouvé le nombre de termes positifs et négatifs ...
vous avez utilisé la formule de la somme d'une suite arithmétique ?
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mtschoon dernière édition par
J'ai d'abord trouvé (avec logique) le nombre de termes positifs et le nombre de termes négatifs et ensuite, j'ai utilisé, pour S1 et S2, la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique.
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mtschoon dernière édition par
Si c'est le nombre de termes positifs et le nombre de termes négatifs, je te donne une indication
n est impair
n peut s'écrir 2p+1, avec p naturel
n=2p+1=p+(p+1)
le nombre de termes positifs est p
le nombre de termes négatifs est (p+1)calcules p en fonction de n :
n=2p+1 <=> 2p=n-1 <=>p=n−12p=\frac{n-1}{2}p=2n−1
p+1=n−12+1=n+12p+1=\frac{n-1}{2}+1=\frac{n+1}{2}p+1=2n−1+1=2n+1
le nombre de termes positifs est n−12\frac{n-1}{2}2n−1
le nombre de termes négatifs est n+12\frac{n+1}{2}2n+1Je pense que maintenant tu as tous les éléments pour trouver la réponse du cas n impair et que tu feras le cas n pair sans difficulté.
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AAnabelle2110 dernière édition par
Je vous remercie beaucoup !
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mtschoon dernière édition par
Attention : dans le cas oùn est pair , le nombre de termes de chacune des deux sommes est n/2.
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AAnabelle2110 dernière édition par
Merci beaucoup et bonne soirée : )
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mtschoon dernière édition par
De rien et bonne soirée à toi !
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AAnabelle2110 dernière édition par
Bonjour en ft je rencontre un petit souci
Pour S1 , on a :
S1= n2.(−3−2n−1)2\frac{\frac{n}{2}.(-3-2n-1)}{2}22n.(−3−2n−1)= −4n−2n24\frac{-4n-2n^{2}}{4}4−4n−2n2= -2n-n²
et pour S2 j'obtiens la même chose mais le signe étant positif soit S2= 2n+n²...
Donc si je les additionne je trouve 0 ...
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mtschoon dernière édition par
Pour n pair
s=[−3−7−...−(2n−1)]+[5+9+...+(2n+1)]s=[-3-7-...-(2n-1)]+[5+9+...+(2n+1)]s=[−3−7−...−(2n−1)]+[5+9+...+(2n+1)]
s=n2×−3−(2n−1)2 + n2×5+(2n+1)2s=\frac{n}{2}\times \frac{-3-(2n-1)}{2}\ +\ \ \frac{n}{2}\times \frac{5+(2n+1)}{2}s=2n×2−3−(2n−1) + 2n×25+(2n+1)
Tu termines le calcul et tu dois trouver n (après simplification)
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AAnabelle2110 dernière édition par
ok c'est bon j'ai fait une erreur de signe
merci encore ; )