quelques equations prépa-Sup



  • Bonsoir,

    j 'ai fais quelques exercices avec des équations, plutôt simple à première vue.Mon ennui c 'est que la 2, beaucoup de gymnastique pour arriver à bout.J'aurai besoin d'une petite correction.je vous remercie par avance.

    1)résoudre ds r2r^2

    {x+ex=y+ey x2+xy+y2=27  \begin{cases} x+{ e }^{ x }=y+e^{ y } \ x^{ 2 }+xy+y^{ 2 }=27 \end{cases}\quad \quad \ \ \quad

    soit,

    {x+ex=y+ey x2+xy+y2=27{(xy)2=(eyex)2 (xy)2+3xy=27 \begin{cases} x+{ e }^{ x }=y+e^{ y } \ x^{ 2 }+xy+y^{ 2 }=27 \end{cases}\leftrightarrow \quad \begin{cases} \left( x-y \right) ^{ 2 }=\left( e^{ y }-e^{ x } \right) ^{ 2 } \ \left( x-y \right) ^{ 2 }+3xy=27 \end{cases}\

    on sait que: $x\left| \longrightarrow \right\ x+e^{ x }\quad \quad \quad \quad f'\left( x \right) >\quad 0\quad \quad$ donc strictement croissante
    donc$\ x=y\$

    ainsi,

    3xy=27  x=y=+ 273=33xy=27\ \ x=y=\begin{matrix} + \ - \end{matrix}\sqrt { \frac { 27 }{ 3 } } =3

    2)

    Résoudre ds rr , xx=12{ x }^{ \sqrt { x } }=\frac { 1 }{ 2 }

    soit xx=12xx12=12{ x }^{ \sqrt { x } }=\frac { 1 }{ 2 } \leftrightarrow \quad { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }=\frac { 1 }{ 2 }

    (xx12)12=(12)12\leftrightarrow \left( { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right) ^{ { \frac { 1 }{ 2 } } }=\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } }

    $\ \leftrightarrow \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ { \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) } }=\quad { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }$

    on sait aussi que pp=aap=a{ p }^{ p }\quad ={ a }^{ a }\quad \leftrightarrow \quad p=a donc x12=x=12\quad { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=\sqrt { x } =\frac { 1 }{ 2 }

    x=14x=\frac { 1 }{ 4 }

    il existe une seconde solution

    xx=12xx12=14{ x }^{ \sqrt { x } }=\frac { 1 }{ 2 } \leftrightarrow \quad { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }=\frac { 1 }{ \sqrt { 4 } }

    \leftrightarrow

    (xx12)12=(1412)12\left( { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right) ^{ { \frac { 1 }{ 2 } } }=\left( \frac { 1 }{ 4 } ^{ ^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } }

    \leftrightarrow

    (x12)(x12)=(14)(14){ \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) }^{ { \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) } }=\quad { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }

    donc,

    x=(14)2x=\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }


  • Modérateurs

    Bonsoir Sophie,

    OK pour le 1)

    Pour le 2), tes calculs sont bons.
    Effectivement, cette équation laisse perplexe.
    je n'ai pas d'idée pertinente...

    Le mieux me semble-t-il est d'écrire 1/2 sous la forme $a^{√a}$ pour pouvoir trouver pour solution x=a

    $\frac{1}{2}=(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}$ d'où 14\frac{1}{4} solution

    $\frac{1}{2}=(\frac{1}{16})^{\frac{1}{4}$ d'où 116\frac{1}{16}solution

    Ce sont les solutions que tu as trouvées.

    Pour être rigoureux, il faut prouver que ce sont les seules.

    Pour cela, l'étude de la fonction f définie parf(x)=xxf(x)=x^{\sqrt x} convient.

    Sur ]0,+∞[, f définie, dérivable don continue
    Maximum valant e2/ee^{-2/e} (≈0.479) pour x=e2x=e^{-2} (≈0.135)

    En utilisant le TVI sur deux intervalles on prouve qu'il y a exactement 2 solutions.

    Bonne rentrée !



  • merci, 🙂


  • Modérateurs

    De rien ! 😄


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