quelques equations prépa-Sup

Bonsoir,

j 'ai fais quelques exercices avec des équations, plutôt simple à première vue.Mon ennui c 'est que la 2, beaucoup de gymnastique pour arriver à bout.J'aurai besoin d'une petite correction.je vous remercie par avance.

1)résoudre ds $r^2$

$\begin{cases} x+{ e }^{ x }=y+e^{ y } \ x^{ 2 }+xy+y^{ 2 }=27 \end{cases}\quad \quad \ \ \quad$

soit,

$\begin{cases} x+{ e }^{ x }=y+e^{ y } \ x^{ 2 }+xy+y^{ 2 }=27 \end{cases}\leftrightarrow \quad \begin{cases} \left( x-y \right) ^{ 2 }=\left( e^{ y }-e^{ x } \right) ^{ 2 } \ \left( x-y \right) ^{ 2 }+3xy=27 \end{cases}\$

on sait que: $x\left| \longrightarrow \right\ x+e^{ x }\quad \quad \quad \quad f'\left( x \right) >\quad 0\quad \quad$ donc strictement croissante
donc$\ x=y\$

ainsi,

$−273=33xy=27\ \ x=y=\begin{matrix} + \ - \end{matrix}\sqrt { \frac { 27 }{ 3 } } =3$

2)

Résoudre ds $r$ , $}^{ \sqrt { x } }=\frac { 1 }{ 2 }$

soit $}^{ \sqrt { x } }=\frac { 1 }{ 2 } \leftrightarrow \quad { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }=\frac { 1 }{ 2 }$

$↔(xx12)12=(12)12\leftrightarrow \left( { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right) ^{ { \frac { 1 }{ 2 } } }=\left( \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } }$

$\ \leftrightarrow \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } \right) ^{ { \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) } }=\quad { \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }^{ \left( \frac { 1 }{ 2 } \right) }$

on sait aussi que $}^{ p }\quad ={ a }^{ a }\quad \leftrightarrow \quad p=a$ donc $x12=x=12\quad { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=\sqrt { x } =\frac { 1 }{ 2 }$

$x=14x=\frac { 1 }{ 4 }$

il existe une seconde solution

$}^{ \sqrt { x } }=\frac { 1 }{ 2 } \leftrightarrow \quad { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } }=\frac { 1 }{ \sqrt { 4 } }$

$↔\leftrightarrow$

$(xx12)12=(1412)12\left( { x }^{ { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right) ^{ { \frac { 1 }{ 2 } } }=\left( \frac { 1 }{ 4 } ^{ ^{ \frac { 1 }{ 2 } } } \right) ^{ \frac { 1 }{ 2 } }$

$↔\leftrightarrow$

$\left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) }^{ { \left( { x }^{ \frac { 1 }{ 2 } } \right) } }=\quad { \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }^{ \left( \frac { 1 }{ 4 } \right) }$

donc,

$x=(14)2x=\left( \frac { 1 }{ 4 } \right) ^{ 2 }$

Bonsoir Sophie,

OK pour le 1)

Pour le 2), tes calculs sont bons.
Effectivement, cette équation laisse perplexe.
je n'ai pas d'idée pertinente...

Le mieux me semble-t-il est d'écrire 1/2 sous la forme $a^{√a}$ pour pouvoir trouver pour solution x=a

$\frac{1}{2}=(\frac{1}{4})^{\frac{1}{2}$ d'où $14\frac{1}{4}$ solution

$\frac{1}{2}=(\frac{1}{16})^{\frac{1}{4}$ d'où $116\frac{1}{16}$ solution

Ce sont les solutions que tu as trouvées.

Pour être rigoureux, il faut prouver que ce sont les seules.

Pour cela, l'étude de la fonction f définie par $f(x)=xxf(x)=x^{\sqrt x}$ convient.

Sur ]0,+∞[, f définie, dérivable don continue
Maximum valant $e^{-2/e}$ (≈0.479) pour $x=e^{-2}$ (≈0.135)

En utilisant le TVI sur deux intervalles on prouve qu'il y a exactement 2 solutions.

Bonne rentrée !

merci,

De rien !