somme (séries)



  • Bonjour,

    je souhaite montrer cette formule: n,,n{\forall {n} } , \in , {\mathbb {n}} ,$\quad \setminus \left{ 0,1 \right}$ : k=2nk1(k+1)(k1)=1412n(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right) }

    j 'ai proposé une récurrence sur n qui a aboutie cependant les calculs m'ont semblé interminable .Avez vous une autre idée ou autre proposition pour faire plus simple?

    voici la récurrence

    1)initialisation, pour n=2n =2

    123=1413.4=16\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ 3 } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 3.4 } =\frac { 1 }{ 6 }

    donc vraie pour n=2

    1. hérédité , supposons la formule vraie n,,n{\forall {n} } , \in , {\mathbb {n}}

    donc

    k=2n+1k1(k+1)(k1)=(k=2nk1(k+1)(k1))+1n(n+2)(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n+1 }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\left( \sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } \right) +\frac { 1 }{ n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }

    ...

    n(n+2)(n+1)4n(n+2)(n+1)+44n(n+2)(n+1)2(n+2)2n(n+1)=n3+3n24n(n+2)(n+1)=n2+3n4(n+2)(n+1)\frac { n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } +\frac { 4 }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } -\frac { 2\left( n+2 \right) }{ 2n\left( n+1 \right) } =\frac { { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 } }{ 4n\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) } =\frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 4\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }

    sachant que:k=2nk1(k+1)(k1)=1412n(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right) }

    mais aussi: =n2+n24n(n+1)=\frac { { n }^{ 2 }+n-2 }{ 4n\left( n+1 \right) } ( la solution apparaît seulement après transformation de la fraction au dessus )
    donc
    k=2n+1k1(k+1)(k1)=(n+1)2+(n+1)24(n+1)(n+2)=n2+3n4(n+2)(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n+1 }{ \frac { { k }^{ -1 } }{ \left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } } =\frac { { \left( n+1 \right) }^{ 2 }+\left( n+1 \right) -2 }{ 4\left( n+1 \right) \left( n+2 \right) } =\frac { { n }^{ 2 }+3n }{ 4\left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }

    la formule est vraie pour n+1 ce qui montre que cette formule est bonne!

    merci mtschoon


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Une idée pour éviter la récurrence (qui n'est pas plus simple, mais qui est peut-être plus originale...)

    k1=1kk^{-1}=\frac{1}{k}

    $\frac{k^{-1}}{(k+1)(k+1)}=\frac{1}{(k-1)k(k+1)$

    En décomposant

    k(k1)k(k+1)=ak1+bk+ck+1\frac{k}{(k-1)k(k+1)}=\frac{a}{k-1}+\frac{b}{k}+\frac{c}{k+1}

    Sauf erreur a=12 b=1 c=12a=\frac{1}{2}\ b=-1\ c=\frac{1}{2}

    $\bigsum_{k=2}^{k=n}\frac{1}{(k-1)k(k+1)$ se décompose ainsi en 3 sommes (faisant une somme télescopique sur 3 niveaux)

    Tu dois obtenir des simplifications et aboutir au membre de droite de la formule de l'énoncé.



  • bonjour,

    C est une excellente idée , c'est plus aisé!

    j 'ai réussie à faire apparaître deux sommes télescopique en cassant une fraction en deux

    1k(k+1)(k1)=12k12k+12k+1+12k1\frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } =-\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ k } -\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ k } +\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ k+1 } +\frac { \frac { 1 }{ 2 } }{ k-1 }

    k=2n1k(k+1)(k1)=12k=2n(1k11k)12k=2n(1k1k+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } = } \frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k-1 } -\frac { 1 }{ k } \right) } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k } -{ \frac { 1 }{ k+1 } } \right) }

    En posant, k1=kk'-1=k

    $\ =\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k-1 } \right) } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k'=3 }^{ n+1 }{ \left( \frac { 1 }{ k'-1 } \right) } -\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k=2 }^{ n }{ \left( \frac { 1 }{ k } \right) } +\frac { 1 }{ 2 } \sum _{ k'=3 }^{ n+1 }{ \left( \frac { 1 }{ k' } \right) } \$

    =14+12(n+1)12n= \frac { 1 }{ 4 } +\frac { 1 }{ 2\left( n+1 \right) } -\frac { 1 }{ 2n }

    donc
    k=2n1k(k+1)(k1)=1412n(n+1)\sum _{ k=2 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k\left( k+1 \right) \left( k-1 \right) } = } \frac { 1 }{ 4 } -\frac { 1 }{ 2n\left( n+1 \right) }

    merci, 😄 bonne semaine


  • Modérateurs

    Ce que tu as fait me parait très bien et c'est beaucoup plus dans l'esprit "Sup" que la récurrence.

    Bonne semaine à toi.


 

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