le Binôme sommes (Séries)
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Ssophie90 dernière édition par
Bonjour,
Le calcul de la différence entre ces deux sommes devient interminable,je pense m'être trompée quelque part ,pouvez vous me diriger vers cette erreur ?
je vous présente seulement la moitié
Merci
- soit $\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { { -\left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) -\sum _{ k=0 }^{ n+1 }{ \frac { { -\left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } } \left( \begin{matrix} n+1 \ k \end{matrix} \right) \$
$=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } } \left( \begin{matrix} n+1 \ k \end{matrix} \right) +\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ n+1 } \left( \begin{matrix} n+1 \ n+1 \end{matrix} \right) -\sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) \$
or, (n+1 k)=(n+1)!k!(n−k+1)!=n!(n+1)k!(n−k)!(n−k+1)=n+1n−k+1(n k)\left( \begin{matrix} n+1 \ k \end{matrix} \right) =\frac { \left( n+1 \right) ! }{ k!\left( n-k+1 \right) ! } =\frac { n!\left( n+1 \right) }{ k!\left( n-k \right) !\left( n-k+1 \right) } =\frac { n+1 }{ n-k+1 } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right)(n+1 k)=k!(n−k+1)!(n+1)!=k!(n−k)!(n−k+1)n!(n+1)=n−k+1n+1(n k)
=∑k=0n[n+1n−k+1(−1)k−1k(n k)−(−1)k−1k(n k)]+(−1)nn+1=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \left[ \frac { n+1 }{ n-k+1 } \frac { { \left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) -\frac { { \left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) \right] } +\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ n+1 }=∑k=0n[n−k+1n+1k(−1)k−1(n k)−k(−1)k−1(n k)]+n+1(−1)n
$=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \left( \frac { n+1 }{ n+1-k } -1 \right) } \left( \frac { { \left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) \right) +\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ n+1 } \$
reste à calculer ceci
=(∑k=0n(−1)k−1n−k+1(n k))+(−1)nn+1=\left( \sum _{ k=0 }^{ n }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ n-k+1 } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) } \right) +\frac { { \left( -1 \right) }^{ n } }{ n+1 }=(∑k=0nn−k+1(−1)k−1(n k))+n+1(−1)n
...
merci
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Ta question me laisse perplexe.
Je crois lire −(−1)k−1k\frac{-(-1)^{k-1}}{k}k−(−1)k−1 qui n'est défini que pourk ≠ 0
Je ne vois pas comment tu peux sommer dek=0 à k=n (ou n+1)
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Ssophie90 dernière édition par
Vous avez raison mtschoon,
j 'ai écrisk=0k=0k=0 de façon machinal par habitude alors que c 'est k=1k=1k=1 d'après l énonce
heureusement que cette faute d’inattention ,n'a pas d'incidence sur mon raisonnement
Merci
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mtschoon dernière édition par
Alors, ta question est de calculer :
$s=\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { { -\left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) -\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \frac { { -\left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } } \left( \begin{matrix} n+1 \ k \end{matrix} \right) \$
J'ai transformé un peu différemment en utilisant la formule de Pascal relative aux coefficients binomiaux et j'arrive à :
$s=\bigsum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}} {k}{{n}\choose {k-1}}+\frac{(-1)^n}{n+1}$
C'est un peu plus simple (en transformant, ton expression est bien la même) mais il reste toujours une autre somme à évaluer, avec 'k" au dénominateur...
Si tu n'as pas d'idée, tu peux peut-être explorer celle-là : penser à la formule du binôme et à l'intégrer
Partir d'une formule du type $(1+x)^n=1+\bigsum_{k=1}^ n{{n}\choose{k}}x^k$
En intégrant chaque membre (la variable étant x), tu obtiens une nouvelle égalité avec "k" au dénominateur...C'est seulement une idée possible ; il faut l'adapter en choisissant la valeur de x, exposant, indice,...
A tester ! (je n'ai pas essayé...)
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Ssophie90 dernière édition par
Bonjour
génial
je vois parfaitement vôtre factorisation en partant de cette égalité:$\left( \begin{matrix} n+1 \ k \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) +\left( \begin{matrix} n \ k-1 \end{matrix} \right) \ \$
donc
∑k=1n(−1)k−1n−k+1(n k)=∑k=1n(−1)k−1k(n k−1)\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { { \left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ n-k+1 } } \left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right) =\sum _{ k=1 }^{ n }{ { \frac { { \left( -1 \right) }^{ k-1 } }{ k } }\left( \begin{matrix} n \ k-1 \end{matrix} \right) }∑k=1nn−k+1(−1)k−1(n k)=∑k=1nk(−1)k−1(n k−1)d'ailleurs on peut écrire :
n−k+1k(n k−1)=(n k)\frac { n-k+1 }{ k } \left( \begin{matrix} n \ k-1 \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} n \ k \end{matrix} \right)kn−k+1(n k−1)=(n k)
le sujet a été donné dans un cadre de recherche, le travail de simplification me satisfait .Pour le restant on verra très prochainement les techniques et manipulations sur cette formule du binôme .
Merci,beaucoup