Equation fonctionnelle f(x+y)=[f(x)+f(y)]/[1+f(x)f(y)]



  • bonsoir,

    Le but de l'exercice est de déterminer les fonctions f de R dans R vérifiant les deux conditions suivantes : f(x) -->f(0) quand x tend vers 0 (continuité de f en 0) et (E):∀(x,y)∈ R²:f(x+y)= f(x)+f(y)1+f(x)f(y)\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}

    1. trouver parmi les fonctions usuelles une solution évidente g à ce problème.
      la fonction th peut marcher donc on a : f(x+y)= e(x+y)e(x+y)e(x+y)+e(x+y)=1e2(x+y)1+e2(x+y)\frac{e^{(x+y)-e^{-(x+y)}}}{e^{(x+y)+e^{-(x+y)}}}= \frac{1-e^{2(x+y)}}{1+e^{2(x+y)}}
      de l'autre côté on a f(x)+f(y)1+f(x)f(y)\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}= 1e2x1+e2x\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}
      Est ce bon ?
      Ensuite pour les autres questions j'ai du mal ...
      2)Justifier ∀(x,y)∈R²:g(x,y)= g(x)+g(y)1+g(x)g(y)\frac{g(x)+g(y)}{1+g(x)g(y)} à l'aide de la fonction exponentielle.
    2. déterminer les fonctions constantes vérifiant (E).
      4)Si une fonction h vérifie (E) et si ∃x∈R, h(x)∈$\left{-1,1\right}$
      alors montrer que h est constante
    3. Si une fonction f non constante vérifie (E) , en notant x2+x2=x\frac{x}{2}+\frac{x}{2}= x, montrer ∀x∈R:f(x)∈]-1,1[.
      6)Calculer pour cette fonction f le réel f(0). cette fonction f est elle paire ou impaire ?
    4. Maintenant montrer la propriété :∀x∈R:∀n∈N:1+f(nx)1f(nx)=(1+f(x)1f(x))n\frac{1+f(nx)}{1-f(nx)}=(\frac{1+f(x)}{1-f(x)})^{n}
      8)Pour n dans N , exprimer me réel f(n) en fonction de n et de y(indice 0)= 1+f(1)1f(1)\frac{1+f(1)}{1-f(1)}
      9)pour n dans Z que dire de f(n) ?
      ...

  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je regarde le début de tes calculs.

    Pour la 1) tu dois trouver une solution évidente parmi les fonctions usuelles.
    Oui, c'est bien la fonction th, mais il faut que tu dises pourquoi

    la formule d'addition de la fonction th avec les notations usuelles s'écrit :

    th(a+b)=tha+thb1+thathbth(a+b)=\frac{tha + thb}{1+thathb}

    Donc en remplaçant a par x, b par y, f par th, tu trouves l'équation (E)

    La fonction th est donc une solution particulière de (E)

    Tu peux écrire g=th\fbox{g=th}

    Pour la 2), là on te demande de faire le calcul avec la fonction exponentielle

    Tu as dû faire une erreur en écrivant car il ne s'agit pas de g(x,y) mais de g(x+y)

    Tu as donc
    $g(x)=th(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}$
    $g(y)=th(y)=\frac{e^y-e^{-y}}{e^y+e^{-y}$
    $g(x+y)=th(x+y)=\frac{e^{x+y}-e^{-(x+y)}}{e^{x+y}+e^{-(x+y)}$

    Avec ça, tu dois calculer g(x+y)g(x+y) ainsi que g(x)+g(y)1+g(x)g(y)\frac{g(x)+g(y)}{1+g(x)g(y)} et trouver pareil

    Pour la 3), soit k une constante

    f(x)=k f(y)=k f(x+y)=kf(x)=k \ f(y)=k \ f(x+y)=k

    (E) devient :

    k=2k1+k2k=\frac{2k}{1+k^2}

    Tu résous pour trouver k

    Regarde cela de près et essaie de poursuivre.

    Reposte si besoin.



  • bonsoir ,
    merci beaucoup pour vos pistes
    Alors pour la 2 j'ai réussi à montrer l'égalité
    la 3 je trouve que k ∈ {0,-1,1}
    Pourrez vous m'apporter une aide pour la 4 ? merci


  • Modérateurs

    C'est bon pour la 3)

    Pour la suite, consulte ici (exercice 27) et reposte si besoin

    [https://books.google.fr/books?id=iePuAqUjGoQC&pg=PA128&lpg=PA128&dq=(1%2Bf(nx)/(1-f(nx))%3D(((1%2Bf(x))/(1-f(x)))%5En&source=bl&ots=czHdfeBg8_&sig=BEyGYQ3OCSzGGA2ozCTCCsUAo74&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjS0M2F3eXWAhXFDxoKHXzTBSkQ6AEIUjAG#v=onepage&q=(1%2Bf(nx)%2F(1-f(nx))%3D(((1%2Bf(x))%2F(1-f(x)))%5En&f=false](https://books.google.fr/books?id=iePuAqUjGoQC&pg=PA128&lpg=PA128&dq=(1%2Bf(nx)/(1-f(nx))%3D(((1%2Bf(x))/(1-f(x)))%5En&source=bl&ots=czHdfeBg8_&sig=BEyGYQ3OCSzGGA2ozCTCCsUAo74&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjS0M2F3eXWAhXFDxoKHXzTBSkQ6AEIUjAG#v=onepage&q=(1%2Bf(nx)%2F(1-f(nx))%3D(((1%2Bf(x))%2F(1-f(x)))%5En&f=false "https://books.google.fr/books?id=iePuAqUjGoQC&pg=PA128&lpg=PA128&dq=(1%2Bf(nx)/(1-f(nx))%3D(((1%2Bf(x))/(1-f(x)))%5En&source=bl&ots=czHdfeBg8_&sig=BEyGYQ3OCSzGGA2ozCTCCsUAo74&hl=fr&sa=X&ved=0ahUKEwjS0M2F3eXWAhXFDxoKHXzTBSkQ6AEIUjAG#v=onepage&q=(1%2Bf(nx)%2F(1-f(nx))%3D(((1%2Bf(x))%2F(1-f(x)))%5En&f=false")



  • merci cela m'a aidé

    Pour montrer que f est dérivable en 0 il faut j'utilise le taux d'accroissement ?
    Donc on a f(h)(1f2(x))h(1+f(x)f(h)\frac{f(h)(1-f^{2}(x))}{h(1+f(x)f(h)}
    f(h)/h vaut f'(0) car f(0)=0 puis (1+f(x)f(h)) tend vers 1 car f(h) vaut 0 puisque f est continue en 0
    Donc la limite de f quand h tend vers 0 c'est (1-f²(x))f'(0) ?

    Si une fonction f vérifie (E) et si F= 12lno1+f1f\frac{1}{2}lno \frac{1+f}{1-f} , calculer F(x+y)-F(x)-F(y) pour (x,y)∈ R²
    comment je suis supposée pour faire pour cette question ? merci


  • Modérateurs

    C'est difficile de savoir comment répondre à ces deux questions car elles ne font pas partie de ton énoncé écrit et tu ne donnes pas leur contexte...
    Il y a, dans tout énoncé, un enchaînement logique dans les questions.
    Là, tu n'en dis rien...

    Ton énoncé écrit se termine par le calcul de f(n) pour n entier, puis des points de suspension.
    Comme dans le lien que je t'ai indiqué, peut-être as-tu calculé f(x) pour x rationnel avec extension aux réels ?
    Si c'est le cas, pour f non constante, f(x) est de la forme th(λx) avec λ réel.

    Pour la dérivabilité en 0 tu peux passer par le taux ou les formules de dérivées usuelles
    tu dois trouver f'(0)=λ

    Pour ta dernière question, tu peux pratiquer comme indiqué dans ton topic isolé récent

    1+th(λx)1th(λx)=e2λx\frac{1+th(\lambda x)}{1-th(\lambda x)}=e^{2\lambda x}

    Après calcul, pour tour x :f(x)=λxf(x)=\lambda x

    f(x+y)f(x)f(y)=λ(x+y)λxλy=0f(x+y)-f(x)-f(y)=\lambda (x+y)-\lambda x-\lambda y=0

    Si cette expression de f(x) utilisée ne fait pas du travail demandé, à toi de trouver d'autres démonstrations.


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