Maths discrète-Logique des propositions.

Bonjour,
Sur un exercice donné je suis arrivé à prouver la première égalité mais pas la 2eme.
Nous n'avons pas encore vu ça en cours mais on a nous a donné une feuille avec quelques éléments pour tenter de faire l'exercice.

En utilisant les propriétés de l'algèbre de Boole, montrer que H1=H2

$h1=(p→q)→rh1=(p\rightarrow q)\rightarrow r$
$(p\lambda \bar{q}) v r$

Merci par avance pour votre aide

Pour prouver que H1 et H2 sont des propositions équivalentes, tu peux faire un tableau de vérité (tu en as fait un dans un topic précédent, donc tu connais).

Ou alors, si tu les connais, tu peux utiliser des formules usuelles,ce qui est plus rapide.

$\rightarrow q$ équivaut à $p‾∨q\overline p \vee q$

re-applique cette propriété à $\rightarrow q)$ et $r$ , ce qui te permet d'écrire

$\rightarrow q) \rightarrow r$ équivaut à $(p‾∨q‾)∨r(\overline {\overline p \vee q}) \vee r$

Avec une loi de Morgan

$(p‾∨q‾)(\overline {\overline p \vee q})$ équivaut à $p‾‾∧q‾\overline{\overline p}\wedge \overline q$

Or $p‾‾=p\overline{\overline p}=p$

Donc $p‾∨q‾\overline {\overline p \vee q}$ équivaut à $\wedge \overline q$

Conclusion :

$\rightarrow q) \rightarrow r$ équivaut à $\wedge \overline q) \vee r$

CQFD

Regarde cette méthode de près (mais ne l'utilise que si tu l'as comprise)

Bonjour Mtschoon,
Merci pour cette démonstration très claire.
J'ai compris ce que vous avez fait.
Je n'avais rien sur la loi de Morgan donc je vais aller voir ça d'un peu plus près.

Ce que je savais c'est que double "-" de P équivaut à P.

Ce que je ne savais pas et qui me poser problème pour la résolution c'est le changement de / en /\ et que je ne vois encore pas forcément bien.

Bon dimanche

[quote=mtschoon]Pour prouver que H1 et H2 sont des propositions équivalentes, tu peux faire un tableau de vérité (tu en as fait un dans un topic précédent, donc tu connais).

Ou alors, si tu les connais, tu peux utiliser des formules usuelles,ce qui est plus rapide.

$\rightarrow q$ équivaut à $p‾∨q\overline p \vee q$

re-applique cette propriété à $\rightarrow q)$ et $r$ , ce qui te permet d'écrire

$\rightarrow q) \rightarrow r$ équivaut à $(p‾∨q‾)∨r(\overline {\overline p \vee q}) \vee r$

La première formule je l'ai dans ma fiche mais la deuxième ou en met une barre sur toute la parenthèse ça j'ai pas et je ne vois pas pourquoi on fait ça.

Tu ne peux pas avoir le seconde formule dans ton cours car c'est la même que la première.

Tu changes seulement les notations.

La formule que tu connais pour p et q tu l'appliques à (p=>q) et r, comme déjà dit, en remplaçant (p=> q) par l'expression trouvée précédemment.

Ah je suis rassuré j'ai donc compris cette démonstration

Neanmoins je peux peut etre vous soumettre ma 1ere démonstration car elle me semble illogique comparé à la 2eme.

$g1=p→(q→r)g1=p\rightarrow (q \rightarrow r)$
$g2=(pλq)→rg2=(p\lambda q)\rightarrow r$

j'ai fait:

$p→qp\rightarrow q$ = $\lambda q$ = p x q

x est associatif

$\rightarrow ( q \lambda r)$ = $\lambda q) \rightarrow r$

conclusion:

$\rightarrow (q \rightarrow r)$ = $(pλq)→r(p\lambda q ) \rightarrow r$

CQFD

Merci par avance pour cette vérification
Bon dimanche.

C'est sûr que ta démonstration est illogique !

En comprenant l'exercice H1=H2, tu auras pu refaire celui -ci !

Tu as utilisé
Citation
$p→qp\rightarrow q$ = $\lambda q$
C'est FAUX. Fais un tableau de vérité pour t'en convaincre !

Regarde ton cours :

$\fbox{p\rightarrow q$ équivaut à $\fbox{\overline p \vee q}$
[cela veut dire (non p) ou q, en français]

Tu peux faire encore un tableau de vérité pour t'en convaincre.

Je te fais les transformations Pour G1 et G2, mais bien sûr, essaie de les faire seul, sinon ça ne sert à rien...

Transformations pour G1

$\rightarrow(q \rightarrow r)$
$\rightarrow(\overline q \vee r)$
$p‾∨(q‾∨r)\overline p \vee (\overline q\vee r)$

Transformations pour G2

$(p∧q)→r(p\wedge q)\rightarrow r$
$(p∧q‾)∨r(\overline{p \wedge q})\vee r$
$(p‾∨q‾)∨r(\overline p \vee \overline q) \vee r$
Vu que v est associative , tu peux écrire pour G2
$p‾∨(q‾∨r)\overline p \vee (\overline q\vee r)$

Il te reste à tirer la conclusion.

bonsoir,
je ne comprends pas juste une transition:

mtschoon

Transformations pour G2

$(p∧q‾)∨r(\overline{p \wedge q})\vee r$
$(p‾∨q‾)∨r(\overline p \vee \overline q) \vee r$
Vu que v est associative , tu peux écrire pour G2
$p‾∨(q‾∨r)\overline p \vee (\overline q\vee r)$

pourquoi passe t-on de / à /.

Il s'agit d'une loi de Morgan (déjà indiquée et utilisée dans un précédent topic)

$p∧q‾=p‾∨q‾\overline {p \wedge q}=\overline p \vee \overline q$

Regarde ici, si ton cours n'est pas assez explicite sur le sujet.

http://serge.mehl.free.fr/anx/lois_morgan.html

Merci beaucoup.

Bonne semaine Mtschoon

Bonne semaine à toi, Dut .