fonctions exponentielles

bonsoir,

si n∈ N* et u ∈ [-n,+8[ alors déterminer le signe de la différence suivante : $(1+un)n−eu(1+\frac{u}{n})^{n}-e^{u}$

pouvez vous m'indiquer une piste pour commencer svp ?
ça fait un moment que je suis dessus et je ne trouve aucune idée

Bonjour,

Piste possible,

Vu la condition sur u et sur n, tu peux justifier que $1+un>01+\frac{u}{n}\gt 0$ , donc tu peux passer les les logarithmes.

$(1+un)n=enln(1+un)(1+\frac{u}{n})^n=e^{nln(1+\frac{u}{n})}$

Soit D la différence dont tu cherches le signe

$d=enln(1+un)−eud=e^{nln(1+\frac{u}{n})}-e^u$

La fonction exponentielle naturelle étant strictement croissante, le signe de D est le signe de $d=nln(1+un)−ud=nln(1+\frac{u}{n})-u$

$d=n[ln(1+un)−un]d=n[ln(1+\frac{u}{n})-\frac{u}{n}]$

Vu que n > 0, le signe de d est le signe de $δ=ln(1+un)−un\delta=ln(1+\frac{u}{n})-\frac{u}{n}$

Tu peux poser $x=unx=\frac{u}{n}$ , avec $8n]x\in ]-1\ ,\ \frac{8}{n}]$

Soit $f (x) = l n (1 + x) - x$

Tu étudies les variations de f, ce qui te permettra d'avoir le signe de $δ\delta$ , donc de d, donc de D

bonjour,

f(x) = ln(1+x)-x
f'(x) = $11+x−x\frac{1}{1+x} - x$ = $−x1+x-\frac{x}{1+x}$

f' est négative sur [0,+8/n] donc la fonction f est décroissante sur [0,+8/n]
donc D<0

Oui mais a démonstration n'est pas complète.

C'est sur ]-1 ,+8/n] qu'il faut étudier les variations de f.

Ah oui

sur ]-1,0] f' est positive donc la fonction f est croissante sur ]-1,0]
donc D>0 sur ]-1,0]

et sur [0,+8/n] D<0

Citation
donc D>0 sur ]-1,0]
non...prends le temps de réfléchir (quel est le maximum ? )

Le mieux, pour éviter des erreurs, est de faire le tableau de variation sur ]-1 ,+8/n]

Le maximum c'est f(0) = 0 ?

j'ai obtenu le tableau suivant

$fichier math$

C'est tout à fait ça, mais tu ne dois pas faire varier x de -1 à+∞, mais de -1 à 8/n.

Cela ne change en rien la conclusion : D ≤ 0

bonjour ,
je vous remercie

De rien !

A+