inégalité de cosinus



  • bonjour ,
    Justifier ∀n ∈N : ∀t∈[0;π/2] : cosn+1(t)cos^{n+1}(t)cosn(t)cos^{n}(t)

    Soit f(x)= cosn+1(t)cos^{n+1}(t)-cosn(t)cos^{n}(t)
    je me propose de dériver la fonction f
    on a :
    f'(x) = (n+1)(-sin(x))cosn^{n}(x)+ n.sin(x)cos^(n-1)(x)

    bon après je bloque un petit peu avec les n...



  • Bonjour,

    Vu que t appartient à [0,π/2], cos(t) ≥ 0, ce qui simplifie la tâche.

    L'étude de la fonction ne me parait pas pertinente.

    Essaie une récurrence.



  • montrons par récurrence ∀n ∈ N : ∀t∈[0,π/2] la propriété suivante Pn: cos^n+1 (t) ≤ cos^n (t)

    Initialisation :n=0
    d'une part cos¹(t)= cos(t)
    de l'autre part cos⁰(t) = 1
    d'où cos¹(t)≤ cos⁰(t)

    donc Pn est vraie au rang 0

    Hérédité: supposons que Pn est vraie et on démontre que Pn+1 est vraie c'est à dire Pn+1= cos^n+2 (t) ≤ cos^n+1 (t)

    d'après hypothèse de récurrence : cos^n+1 (t) ≤ cos^n (t)
    ⇔ cos^n+1 (t) * cos¹ (t) ≤ cos^n (t) * cos¹(t)
    ⇔ cos^n+2 (t) ≤ cos^n+1 (t)

    • conclusion : ∀n ∈ N: ∀t∈[0,π/2] : cos^n+1≤ cos^n


  • C'est bon.

    Si c'est un devoir à rendre, précise (pour l'hérédité) que tu as multiplié chaque membre de l'inégalité par cos(t) sans changer le sens de l'inégalité car cos(t) est positif (au sens large) ( vu que t appartient à [0,∏/2]).



  • d'accord , merci beaucoup ! : )



  • De rien !

    Bon travail.


 

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