inégalité de cosinus



  • bonjour ,
    Justifier ∀n ∈N : ∀t∈[0;π/2] : cosn+1(t)cos^{n+1}(t)cosn(t)cos^{n}(t)

    Soit f(x)= cosn+1(t)cos^{n+1}(t)-cosn(t)cos^{n}(t)
    je me propose de dériver la fonction f
    on a :
    f'(x) = (n+1)(-sin(x))cosn^{n}(x)+ n.sin(x)cos^(n-1)(x)

    bon après je bloque un petit peu avec les n...


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Vu que t appartient à [0,π/2], cos(t) ≥ 0, ce qui simplifie la tâche.

    L'étude de la fonction ne me parait pas pertinente.

    Essaie une récurrence.



  • montrons par récurrence ∀n ∈ N : ∀t∈[0,π/2] la propriété suivante Pn: cos^n+1 (t) ≤ cos^n (t)

    Initialisation :n=0
    d'une part cos¹(t)= cos(t)
    de l'autre part cos⁰(t) = 1
    d'où cos¹(t)≤ cos⁰(t)

    donc Pn est vraie au rang 0

    Hérédité: supposons que Pn est vraie et on démontre que Pn+1 est vraie c'est à dire Pn+1= cos^n+2 (t) ≤ cos^n+1 (t)

    d'après hypothèse de récurrence : cos^n+1 (t) ≤ cos^n (t)
    ⇔ cos^n+1 (t) * cos¹ (t) ≤ cos^n (t) * cos¹(t)
    ⇔ cos^n+2 (t) ≤ cos^n+1 (t)

    • conclusion : ∀n ∈ N: ∀t∈[0,π/2] : cos^n+1≤ cos^n

  • Modérateurs

    C'est bon.

    Si c'est un devoir à rendre, précise (pour l'hérédité) que tu as multiplié chaque membre de l'inégalité par cos(t) sans changer le sens de l'inégalité car cos(t) est positif (au sens large) ( vu que t appartient à [0,∏/2]).



  • d'accord , merci beaucoup ! : )


  • Modérateurs

    De rien !

    Bon travail.


 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.