inégalité de cosinus

[Anabelle2110]

bonjour ,
Justifier ∀n ∈N : ∀t∈[0;π/2] : $co{s}^{n+1}(t)$≤ $co{s}^n(t)$

Soit f(x)= $co{s}^{n+1}(t)$-$co{s}^n(t)$
je me propose de dériver la fonction f
on a :
f'(x) = (n+1)(-sin(x))cos${}^n$(x)+ n.sin(x)cos^(n-1)(x)

bon après je bloque un petit peu avec les n...

[mtschoon]

Bonjour,

Vu que t appartient à [0,π/2], cos(t) ≥ 0, ce qui simplifie la tâche.

L'étude de la fonction ne me parait pas pertinente.

Essaie une récurrence.

[Anabelle2110]

montrons par récurrence ∀n ∈ N : ∀t∈[0,π/2] la propriété suivante Pn: cos^n+1 (t) ≤ cos^n (t)

Initialisation :n=0
d'une part cos¹(t)= cos(t)
de l'autre part cos⁰(t) = 1
d'où cos¹(t)≤ cos⁰(t)

donc Pn est vraie au rang 0

Hérédité: supposons que Pn est vraie et on démontre que Pn+1 est vraie c'est à dire Pn+1= cos^n+2 (t) ≤ cos^n+1 (t)

d'après hypothèse de récurrence : cos^n+1 (t) ≤ cos^n (t)
⇔ cos^n+1 (t) * cos¹ (t) ≤ cos^n (t) * cos¹(t)
⇔ cos^n+2 (t) ≤ cos^n+1 (t)

• conclusion : ∀n ∈ N: ∀t∈[0,π/2] : cos^n+1≤ cos^n

[mtschoon]

C'est bon.

Si c'est un devoir à rendre, précise (pour l'hérédité) que tu as multiplié chaque membre de l'inégalité par cos(t) sans changer le sens de l'inégalité car cos(t) est positif (au sens large) ( vu que t appartient à [0,∏/2]).

[Anabelle2110]

d'accord , merci beaucoup ! : )

[mtschoon]

De rien !

Bon travail.