Algèbre linéaire-plans vectoriels et droite vectorielle

bonjour , j'ai un petit soucis de compréhension concernant ce qui suit :
on travaille dans R3
soit D la droite vectorielle d'équations
x-y+z=0
x+y+2z=0
donc cette droite est l'intersection de deux plans ça je l'ai compris
dans un livre y'a marqué un vecteur directeur de cette droite s'obtient par le produit vectoriel
des deux vecteur colonnes ( désolé je ne sais pas écrire les colonnes en latex donc je vais les écrire en lignes ) suivant : (1,-1,1)∧(1,1,2)
j'ai remarqué que les coefficients de ces deux vecteur correspondent aux coefficients des inconnues dans les deux équations mais je ne vois toujours pas le rapport
auriez vous des idées a ce propos ?? merci d'avance

Bonjour,

L'équation d'un plan vectoriel est de la forme ax+by+cz=0, avec a,b,c, non tous nuls.
(a,b,c) sont les coordonnées d'un vecteur normal au plan.

Soit (P) d'équation x-y+z=0
Le vecteur $u⃗\vec{u }$ de coordonnées (1,-1,1) est normal à (P)

Soit (Q) d'équation x+y+2z=0
Le vecteur $v⃗\vec{v }$ de coordonnées (1,1,2) est normal à (Q)

Soit $w⃗=u⃗∧v⃗\vec{w}=\vec{u}\wedge \vec{v}$

Par définition du produit vectoriel :

$w⃗\vec{w}$ est orthogonal à $u⃗\vec{u}$ donc est dans (P)
$w⃗\vec{w}$ est orthogonal à $v⃗\vec{v}$ donc est dans (Q)

$w⃗\vec{w}$ est donc dans (P) ∩ (Q) c'est à dire dans (D)

$w⃗\vec{w}$ est donc un vecteur directeur de (D)

Remarque : cette explication s'applique dans le cas où $u⃗\vec{u}$ et $v⃗\vec{v}$ ne sont pas colinéaires (donc $w⃗\vec{w}$ non nul)