Décomposition en éléments simples en vue du calcul intégral



  • Bonjour,
    je bloque sur un exercice,

    Montrer qu il existe des réels a et b uniques tels que:

    x(x1)(x2)\frac{ x}{(x-1)(x-2)} = a(x1)\frac{ a}{(x-1)} + b(x2)\frac{ b}{(x-2)}

    en déduire les primitives de x(x1)(x2)\frac{ x}{(x-1)(x-2)} sur l'intervalle ]1,2[

    j'ai commencé à faire:

    a(x1)\frac{ a}{(x-1)} + b(x2)\frac{ b}{(x-2)} = a(x2)+b(x1)((x1)(x2)\frac{ a(x-2) + b(x-1)}{((x-1)(x-2)}
    =(a+b)x2ab((x1)(x2)\frac{ (a+b)x -2a -b}{((x-1)(x-2)}

    après que faut il faire????

    Merci


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Tes calculs sont bons.

    Après, tu procèdes par identification (des numérateurs entre eux)

    Pour tout x :
    (a+b)x2ab=x(a+b)x-2a-b=x

    Pense que x peut s'écrire 1x+01x+0

    (a+b)x2ab=1x+0(a+b)x-2a-b=1x+0

    Par identification:

    $\left{a+b=1\-2a-b=0$

    Tu résous ce système

    Sauf erreur, tu dois trouver a=1 et b=2a=-1\ et\ b=2



  • Merci Mtschoon,
    je vous suis jusqu'à identification:

    après pourquoi le x disparait?

    en résolvant on doit obtenir:

    a= -b
    b= -2a = 2b


  • Modérateurs

    Le "x" ne disparait pas !
    Il y a égalité des coefficients (coefficients de x égaux, termes constants égaux )

    Revois ton système : c'est faux



  • Bonsoir,
    Ok pour le X.
    Pour le système après avoir regardé sur internet comment résoudre avec 2 inconnues je trouve bien a= -1 et b=2

    Merci


  • Modérateurs

    Donc, c'est bon pour a et b

    As-tu trouvé les primitives demandées ?



  • Bonsoir,

    La décomposition en élément simple offre plusieurs méthode de résolution certaine d'entre elle sont vraiment intéressante ,l'identification présentée par Mtschoon est ce qu'il se fait en général.Cependant,pour aller très très vite dans les calculs celle ci vaut le détour!

    idée : on multiplie parun facteur et on prend le réél qui l'annule

    de
    x(x1)(x2)=ax1+bx2\frac { x }{ \left( x-1 \right) \left( x-2 \right) } =\frac { a }{ x-1 } +\frac { b }{ x-2 }

    $\left\ x-1 \right| \underbrace { 1 } \quad \quad \frac { x }{ x-2 } =\quad a\quad +\frac { b\left( x-1 \right) }{ x-2 } $ d'ou $a=-1\ \$

    $\left\ x-2 \right| \underbrace { 2 } $xx1=a(x2)x1+b\quad \frac { x }{ x-1 } =\frac { a\left( x-2 \right) }{ x-1 } +b\quad \quad \quad d'ou b=2b=2

    Crdlt,


  • Modérateurs

    Bonjour Sophie90,

    Tout à fait d'accord sur la technique multiplicative . Elle est très rapide, (mais elle a ses limites...). C'est une technique plutôt de Sup.

    Raphael est un étudiant (j'ignore dans quel domaine, mais certainement pas en Sup !) qui n'a pas le Bac S (il l'a précisé dans un topic précédent).

    Dans son topic, il a commencé la technique "classique" (ç'est visiblement celle qu'il a vu en cours) donc mieux vaut qu'il la comprenne et qu'il arrive à la terminer.

    Si ça l'intéresse, pour éclairer ta réponse (et voir les limites de la méthode), je mets un lien :

    https://www.youtube.com/watch?v=MV2iyxLoi4M

    J'espère que ça ne va pas le perturber...

    Bonne semaine !


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