Calcul intégral sin^3 t



  • Bonjour,
    On avait déjà parler comment calculer l 'intégrale de sin ^3t.
    Mais qu'on je refais le calcul 1 mois après le premier poste je remarque que faire la formule d'Euler puis du Binôme puis refaire Euler ce n'est pas du tout de mon niveau y a t il une méthode intermédiaire pour les débutant en intégrale comme la linéarisation que je trouve plus simple merci?

    Parce que je ne comprends vraiment pas comment vous trouver vos résultats.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    La méthode par linéarisation proposée dans un précédent topic est une méthode générale.
    En l'appliquant, tu peux linéariser un polynôme trigonométrique en vue du calcul intégral.

    Si tu ne maîtrises pas les notions utilisées, je te propose un autre calcul pour répondre à la question, mais qui n'est pas général...

    sin3t=sint(sin2t)=sint(1cos2t)=sintcos2t sintsin^3t=\sin t(sin^2t)=sin t(1-cos^2t)=sin t-cos^2t\ sin t

    sin3t=sint+cos2t(sint)sin^3t=sin t+cos^2 t(-sin t)

    \bigint0π2sin3tdt=\bigint0π2sintdt+\bigint0π2cos2t(sint)dt\bigint_0^{\frac{\pi}{2}}sin^3tdt=\bigint_0^{\frac{\pi}{2}}sin t dt+\bigint_0^{\frac{\pi}{2}}cos^2 t(-sin t)dt

    Tu obtiens ainsi deux primitives usuelles que je te laisse calculer.



  • Bonsoir,
    alors pour la premiere primitive je trouve:

    • cos(t)

    pour la deuxième:
    1+cos(2t)2cos(t)\frac{1+cos(2t)}{2}*cos(t)


  • Modérateurs

    Oui pour la première primitive

    Il te reste à calculer [cost]0π2[-cost ]_0^{\frac{\pi}{2}}

    Non pour la seconde primitive

    Technique non comprise.

    Tu dois reconnaître une primitive usuelle.
    La méthode a été indiquée dans un topic précédent.

    Fonction de la formeunuu^nu' donc une primitive est un+1n+1\frac{u^{n+1}}{n+1}
    (pour n ≠ -1)

    Ici,

    u(t)=cost u(t)=sint n=2u(t)=cos t \ u'(t)=-sin t \ n=2

    Primitive cherchée :cos3t3\frac{cos^3 t}{3}

    Il te reste à calculer [cos3t3]0π2[\frac{cos^3 t}{3} ]_0^{\frac{\pi}{2}}

    En ajoutant les valeurs que tu auras trouvées aux deux intégrales, tu dois obtenir comme résultat 23\frac{2}{3}, qui est le résultat trouvé précédemment par la méthode de linéarisation.


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