Bijection, Injection et surjection



  • Bonjour,
    J'ai un exercice où j'ai 6 fonctions et je dois dire si il y a :
    -Bijection?
    -Injection?
    -Surjection?

    Je vous donne 3 fonctions:

    f= Z -> Z f(n)= le quotient de n par 3

    f= {0,1}* -> N f(u)= la longueur de u

    f= {0,1}* -> {0,1}* f(x1x2.............xnx1) (permutation circulaire)

    premièrement ce qui me gène, c'est que je ne comprends pas ce que veut dire f(..)= .............

    Comment faire pour voir si il y a bijection? Injection? Surjection?

    Merci beaucoup


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je te donne quelques précisions mathématiques, mais seulement mathématiques !

    Tu parles de "fonctions" …
    Une fonction f de E vers F est définie sur son domaine de définition Df (inclus dans E).
    Ainsi, f est une application de Df vers F ce qui veut dire que tout élément x de Df a une image (unique) y=f(x) dans F.

    Exemples :

    Si tu considères la fonction f de R vers R définie par f(x)=x²
    Tout nombre réel peut s'élever au carré pour donner un autre nombre réel
    donc Df=R
    f est une application de R vers R.

    Si tu considères la fonction g de R vers R définie par g(x)=√x
    La condition d’existence est x positif donc Dg=R+Dg=R^+
    g est une application de R+R^+ vers R.

    Les propriétés d’injectivité, surjectivité, bijectivité, s’appliquent aux applications.

    Je te rappelle les propriétés possibles

    1.Injectivité
    Une application f de Df vers F est injective si et seulement si tout élément de F possède
    au plusun antécédent dans Df.
    2**.Surjectivité**
    Une application f de Df vers F est surjective si et seulement si tout élément de F possède
    au moinsun antécédent dans Df.
    3**.Bijectivité**
    Une application f de Df vers F est bijective si et seulement si tout élément de F possède
    exactementun antécédent dans Df (ce qui équivaut à dire que f est à la fois injective et surjective)


  • Modérateurs

    Je regarde la première fonction que tu donnes.

    Z est l'ensemble des entiers Z={...,-3,-2,-,1,0,1,2,3,...}

    n est un entier

    f(n)=n/3

    n/3 doit être un entier donc n doit être un entier multiple de 3

    exemples pour comprendre

    f(1)=1/3
    1/3 n'est pas un entier donc 1 n'appartient pas à Df
    f(6)=6/3=2
    2 est un entier donc 2 appartient à Df

    Df est l'ensemble des entiers multiples de 3, qui, mathématiquement se note 3Z

    f est donc une application de 3Z vers Z

    Propriété possible de cette application :

    Soit y un élément de Z (ensemble d'arrivée)

    Il faut chercher les antécédents possibles n de y dans 3Z (ensemble de départ):

    f(n)=y <=> n/3=y <=> n=3y

    n est l'entier 3y multiple de 3 donc n=3y appartient à 3Z

    Tout élément y de Z a donc
    exactementun antécédent 3y dans 3Z

    f est donc unebijection de 3Z vers Z

    Pour les autres fonctions données, j"ignore les notations ...encore du domaine informatique...donc je ne peux pas te donner de réponses les concernant.



  • Bonjour Mtschoon,
    Malgré l'explication détaillé j'essaie d'appliquer la methode "betement" mais je ne la comprends pas.
    En reprenant votre exemple si je fait f(3) =3/3=1, 1 est un entier donc appartient à DF.
    F application de 1Z vers Z

    n/1=y
    n=y

    Je travaillais avec les "patates" (https://openclassrooms.com/courses/les-fonctions-en-maths/injection-surjection-et-bijection) car je trouve ça moins abstrait.
    J'ai bien compris visuellement ce qu'on veut pour l'injection.

    Ce que j’essayai de faire c'est prendre N ensemble de départ.
    Par exemple je prends 2 je fais 2/3 et je regarde dans l'ensemble d'arrivé si j'ai 2/3 est présent ce qui n'est pas le cas donc 2 ensemble de départ n'a pas d'antécédent dans l'ensemble d'arrivé: CE QUI EST FAUX en vue de votre réponse et malheureusement c'est encore mon raisonnement.

    Par contre j'ai compris que la bijection entraine l'injection et la surjection


  • Modérateurs

    Citation
    F application de 1Z vers Zc'est FAUX

    Je crois que tu confonds ensemble de départ et ensemble d'arrivée.

    En reprenant ton exemple
    f(3) =3/3=1 qui convient donc 3 appartient à Df ; 3 appartient à 3Z



  • [quote=mtschoon]
    Citation

    f(3) =3/3=1 qui convient donc 3 appartient à Df ; 3 appartient à 3Z

    D'accord je viens de comprendre pour l'ensemble d'arrivée pourquoi c'est 3Z.

    par contre je ne comprends pas votre dernière phrase;

    Et si on veut représenter ça avec les "patates", dans l'ensemble de départ (pour f(3)), on prends la valeur 3 qu'on emmène vers quelle valeur de l'ensemble d'arrivée? la valeur 1(car 3/3=1)?


  • Modérateurs

    3 est un multiple de 3 car 3=3x1

    donc 3 appartient à 3Z



  • Je crois avoir compris 3 appartient à 3Z, au meme titre que:
    f(6)=2 -> 6=3x2
    f(9)=3 -> 9=3x3
    donc 6 et 9 appartiennent à 3Z.

    je vais essayer un autre calcul pour voir si j'ai compris, c'est exactement le meme que precedemment mais au lieu d'avoir le quotien de n par 3 c'est
    le reste de n par 3
    On est d'accord que ça veut dire n-3?


  • Modérateurs

    Citation
    On est d'accord que ça veut dire n-3?Non..si tu parles du reste de la division de n par 3

    Pour comprendre : pose une division d'entier positif par 3(disposition pratique) pour trouver le reste.



  • donc c'est encore n/3
    avec n positif
    Donc n/1, n/2, n/3...... ??????????,


  • Modérateurs

    Non...

    Reprenons ce dernier exemple avec l'ensemble N des entiers naturels
    N={0,1,2,3,4,....}

    Soit f fonction de N vers N telle que f(n) est le reste de la division euclidienne de n par 3

    Principe de la division euclidienne: soit q le quotient entier de n par 3 et r le reste

    n=3q+r avec r naturel 0 ≤ r < 3 ( c'est à direr=0 ou 1 ou 2)

    Tu peux écrire f(n)=n-3q=r avec r=0 ou 1 ou 2

    Pour tout naturel n de N, on trouve une valeur naturelle pour r
    Donc Df=N

    f est une application de N vers N

    Réfléchis aux propriétés possibles

    Par exemple, calcule f(1), f(2), f(3), f(4),...

    Avec cela, tu peux conclure sur l'injectivité ou la non-injectivité de f

    Vu que r=0 ou 1 ou 2 , réfléchis aux antécédents de 3 ou 4 ou...

    Avec cela, tu peux conclure sur la surjectivité ou la non-surjectivité de f

    Avec les deux réponses trouvées, tu pourras conclure sur la bijectivité ou la non-bijectivité de f



  • Je ne comprends vraiment pas ce qui bloque car pour une fois j'ai compris la signification des termes (avec la représentation en patate) bijection, surjection, et injection


  • Modérateurs

    Tu n'as pas compris (ou oublié) comment on fait une division euclidienne. dans N ... (disposition pratique avec dividende, diviseur, quotient, reste)

    Je te mets un lien.

    http://www.educastream.com/la-division-euclidienne-cm1

    Ici, il faut faire une division par 3 (le diviseur est 3)

    Pour t'entraîner, divise 16 par 3.
    Doncn=16
    Tu dois trouver que le quotient q vaut 5 et que le reste vaut 1
    donc f(16)=1

    Lorsque tu auras compris, tu reprends ma réponse précédente et réponds aux questions.



  • Merci je pense commencer à comprendre mais il faut encore que je m'entraine.
    Bonne soirée


  • Modérateurs

    Lorsque tu auras tout à fait compris, pour vérification, je te mets les valeurs que tu dois trouver ,après avoir fait les divisions comme indiqué dans le lien donné.

    f(0)=0
    f(1)=1
    f(2)=2
    f(3)=0
    f(4)=1
    f(5)=2
    f(6)=0
    f(7)=1
    etc

    Tu peut constater que 0 de N (arrivée) a plusieurs antécédents (0,3,6) dans N(départ), que 1 a plusieurs antécédents (1,4,7) dans N (départ), etc, donc f non injective.

    Les images, par f, des éléments de N sont 0,1,2 ( car il s'agit d'une division euclidienne par 3)
    Donc 3,4,5,6,7,... de N(arrivée) n'ont aucun antécédent dans N (départ) doncf non surjective

    donc f non bijective.

    Bonnes réflexions.



  • Merci Mtschoon pour ce complément.
    C'est les conclusions que j'en avais tiré.


  • Modérateurs

    De rien !

    Bon dimanche Dut.


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