Règle de l'Hôpital-Limite



  • Bonsoir! je m'appelle Jessy. je travaille sur un exercice qui m'est un peu compliqué. En fait l'exercice propose de calculer en utilisant la règle de l'hôpital la valeur de la limite de (sinx -x+x^3/6)/x^5 quand x tend vers 0


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Piste,

    Dans la mesure où tu as une indétermination de la forme 0/0, la règle de l'Hôpital convient, mais il faut, pour obtenir une réponse à la limite demandée, que tu l'appliques successivement à f puis f' puis f" puis f'' puis f'''' (jusqu'à trouver une forme satisfaisante)

    Soit f(x)=g(x)h(x)f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

    g(x)=sinxx+x36g(x)=sinx-x+\frac{x^3}{6}
    h(x)=x5h(x)=x^5

    g(x)=cosx1+x22g'(x)=cosx-1+\frac{x^2}{2}
    h(x)=5x4h'(x)=5x^4

    limx0f(x)=limx0cosx1+x225x4\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{cosx-1+\frac{x^2}{2}}{5x^4}

    Vu que l'expression n'est pas pertinente pour trouver la limite, tu continues

    g(x)=sinx+xg''(x)=-sinx+x

    h(x)=20x3h''(x)=20x^3

    limx0f(x)=limx0sinx+x20x3\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{-sinx+x}{20x^3}

    Vu que l'expression n'est pas encore pertinente pour trouver la limite, tu continues.

    Tu calcules g'''(x), h'''(x) puis g''''(x) et h''''(x)

    Sauf erreur, tu arrives à

    limx0f(x)=limx0g(x)h(x)=limx0sinx120x\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{g''''(x)}{h''''(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{120x}

    Là, c'est bon.

    Tu dois savoir que limx0sinxx=1\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1

    D'où

    limx0f(x)=1120\fbox{\lim_{x \to 0}f(x)=\frac{1}{120}}

    Bons calculs !


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