Règle de l'Hôpital-Limite
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PPanther dernière édition par zipang
Bonsoir! je m'appelle Jessy. je travaille sur un exercice qui m'est un peu compliqué. En fait l'exercice propose de calculer en utilisant la règle de l'hôpital la valeur de la limite de (sinx -x+x^3/6)/x^5 quand x tend vers 0
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Piste,
Dans la mesure où tu as une indétermination de la forme 0/0, la règle de l'Hôpital convient, mais il faut, pour obtenir une réponse à la limite demandée, que tu l'appliques successivement à f puis f' puis f" puis f'' puis f'''' (jusqu'à trouver une forme satisfaisante)
Soit f(x)=g(x)h(x)f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}f(x)=h(x)g(x)
g(x)=sinx−x+x36g(x)=sinx-x+\frac{x^3}{6}g(x)=sinx−x+6x3
h(x)=x5h(x)=x^5h(x)=x5g′(x)=cosx−1+x22g'(x)=cosx-1+\frac{x^2}{2}g′(x)=cosx−1+2x2
h′(x)=5x4h'(x)=5x^4h′(x)=5x4limx→0f(x)=limx→0cosx−1+x225x4\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{cosx-1+\frac{x^2}{2}}{5x^4}limx→0f(x)=limx→05x4cosx−1+2x2
Vu que l'expression n'est pas pertinente pour trouver la limite, tu continues
g′′(x)=−sinx+xg''(x)=-sinx+xg′′(x)=−sinx+x
h′′(x)=20x3h''(x)=20x^3h′′(x)=20x3
limx→0f(x)=limx→0−sinx+x20x3\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{-sinx+x}{20x^3}limx→0f(x)=limx→020x3−sinx+x
Vu que l'expression n'est pas encore pertinente pour trouver la limite, tu continues.
Tu calcules g'''(x), h'''(x) puis g''''(x) et h''''(x)
Sauf erreur, tu arrives à
limx→0f(x)=limx→0g′′′′(x)h′′′′(x)=limx→0sinx120x\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{g''''(x)}{h''''(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{120x}limx→0f(x)=limx→0h′′′′(x)g′′′′(x)=limx→0120xsinx
Là, c'est bon.
Tu dois savoir que limx→0sinxx=1\lim_{x \to 0}\frac{sinx}{x}=1limx→0xsinx=1
D'où
$\fbox{\lim_{x \to 0}f(x)=\frac{1}{120}}$
Bons calculs !