Algèbre linéaire Vecteurs



  • Bonjour j'ai une question sur un exercice.
    Ou j'ai la correction mais je ne vois pas comment arriver à ce résultat.

    Dans R^3, on considère x=(1,-1,1) et y=(0,1,a) où a ∈R

    Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que u=(1,1,2) appartienne à vect (x,y)
    Comparer alors vect(x,y), vect(x,u) et vect (y,u).

    Bon WE


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Quelques pistes pour les calculs,

    uvect(x,y)u \in vect(x,y)

    Cela équivaut à dire que U est une combinaison linéaire de x et y

    U=αx+βy (avec α, β réels)

    (1,1,2)=α(1,-1,1)+β(0,1,a)

    (1,1,2)=(α,-α+β,α+aβ)

    $\left{\alpha=1\-\alpha+\beta=1\\alpha+a\beta=2$

    Après résolution :

    α=1 β=2 a=12\alpha=1 \ \beta=2 \ \fbox{a=\frac{1}{2}}

    u=x+2y\fbox{u=x+2y}


  • Modérateurs

    Pour la comparaison à déduire, tu dois trouver que les 3 ensembles sont égaux.

    Demande si tu n'arrives pas à le prouver.



  • merci pour votre aide.
    j'arrive bien à a= 1 et Beta= 2

    Est-ce que a et α\alpha veulent dire la même chose dans votre notation?

    est comment sait-on que que a= α\alpha / Beta ?


  • Modérateurs

    a est la notation de l'énoncé ; on n'a pas le droit de la changer.

    Pour écrire U en combinaison linéaire de x et y , on prend les notations que l'on veut

    J'aurais très bien pu prendre p et q et écrire U=px+qy

    Citation
    a= \alpha / Betaest fortuit !

    Revois les calculs faits pour résoudre le système .



  • Mais est ce que

    α ≠ a ?

    Si j'ai bien compris la réponse est oui , car α = α\alpha

    pour trouver a, il faut juste isoler l'inconnu comme on fait à chaque fois. je crois que c'est la notation qui m'a légèrement perturbé.

    Je pense avoir compris, à vous de me le dire 🙂

    Par contre je ne vois pas encore comment montrer qu'ils sont égaux


  • Modérateurs

    J'ai l'impression que tu ne sais pas vraiment résoudre le système...

    Je détaille . Tu résous par substitution.

    $\left{\alpha=1\-\alpha+\beta=1\\alpha+a\beta=2$

    Première ligne: α=1\alpha =1 (rien à faire)

    Deuxième ligne : tu replaces α par 1, ce qui te donne : 1+β=1-1+\beta=1

    d'oùβ=1+1=2\beta=1+1=2

    Troisième ligne: tu remplaces α par 1 et β par 2, ce qui te donne :

    1+a(2)=21+a(2)=2
    1+2a=2 <=> 2a=2-1 <=> 2a=1 <=> a=12a=\frac{1}{2}

    On verra les conséquences quand tu seras sûr d'avoir compris cela.



  • Bonsoir Mtschoon,
    Jusqu'à présent c'est compris
    Quand vous parlez de conséquences à quoi cela renvoie t-il?


  • Modérateurs

    Cela renvoie à "Comparer alors vect(x,y), vect(x,u) et vect (y,u)"



  • Pour moi, ils ne sont pas égaux.
    Ne connaissant pas la méthode j'ai tenté plusieurs choses( sommes, produit de x avec y.....) sans retomber sur 1 résultat égal au 3


  • Modérateurs

    Et si, ils sont bien égaux...

    Par double inclusion , je démontre que Vect(x,y)=Vect(x,U)

    DEMONSTRATION :

    Tu sais que U=1x+2y
    De plus, tu peux écrire x=1x+0y
    U et x sont des combinaisons linéaires de x,y donc appartiennent à Vect(x,y)
    donc : Vect(x,U) est inclus dans Vect(x,y)

    Tu sais que y=(-1/2)x+(1/2)U
    De plus, tu peux écrire x=1x+0U
    x et y sont des combinaisons linéaires de x,U donc appartiennent à Vect(x,U)
    donc : Vect(x,y) est inclus dans Vect(x,U)

    CONCLUSION : Vect(x,y) = Vect(x,U)

    Tu peux faire la même démarche pour prouver que Vect(x,y)=Vect(y,U)



  • mtschoon

    De plus, tu peux écrire x=1x+0y

    Comment peut-on arriver à ça?
    Mon problème est le u qui disparait


  • Modérateurs

    Je t'ai détaillé une "évidence" pour tenter de te faire comprendre que x peut se mettre sous forme de combinaison linéaire de x,y

    1x=x
    0y=0

    donc 1x+0y=x

    cette décomposition n'a rien à voir avec U



  • Bien sûr , ça parait logique.

    Merci beaucoup pour tout le temps passé.

    Bonne soirée


  • Modérateurs

    De rien !

    A+


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