Développements limités (1)



  • Bonjour! j'ai encore besoin d'aide. J'ai un exercice qui propose de calculer le développement limité de √(1-x) + √(1+x) en 0 à l'ordre 4 . votre aide s'il vous plait. merci


  • Modérateurs

    Re-Bonjour,

    Je te conseille de déterminer séparément le DL de √(1-x) et celui de
    √(1+x) puis de les ajouter.

    Pour les calculs, tout dépend de ton cours.

    Le plus simple est d'utiliser la formule usuelle de (1+x)a(1+x)^a(valable pour tout réel a) pour le DL d'ordre p, au voisinage de 0 :

    (1+x)a=1+ax+a(a1)2!x2+...+a(a1)(ap+1)p!xp+σ(xp)(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+...+\frac{a(a-1)(a-p+1)}{p!}x^p+\sigma(x^p)

    1+x=(1+x)12\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}

    Utilise la formule générale que je viens de donner avec a=1/2 et p=4

    1x=(1x)12\sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}

    Utilise la formule trouvée pour 1+x\sqrt{1+x} en changeant x en -x

    En ajoutant les deux DL, il y aura des simplifications.

    Sauf erreur, le résultat final doit être :

    1x+1+x=2x245x464+σ(x4)\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=2-\frac{x^2}{4}-\frac{5x^4}{64}+\sigma(x^4)

    Bons calculs !



  • j'ai appliqué la formule a la lettre mais mon résultat est différent je m'explique ! pour le développement limité de √(1+x) j'ai trouvé 1 +1/2x- 1/8x^2+5/192x^4 et celui de √(1-x) me donne 1-1/2x-1/8x^2-5/192x^4 donc par simplification j'obtiens 2-x^2/4. je me suis trompé a quel niveau?


  • Modérateurs

    N'ayant pas tes calculs, je ne peux pas te dire où il y a une erreur...

    Pour vérification, je t'indique les résultats.

    Sauf erreur,

    1+x=1+x2x28+x3165x4128+σ(x4)\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\sigma(x^4)

    1x=1x2x28x3165x4128+σ(x4)\sqrt{1-x}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\sigma(x^4)


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